线性系统的外部稳定性和内部稳定性介绍Lyapunov稳定性概念线性系统外部稳定性和内部稳定性的关系线性系统稳定性的特征值判据(pànjù)和Lyapunov判别方法线性系统的外部稳定性主要(zhǔyào)是有界输入有界输出稳定性，简称为BIBO稳定性。定义考虑线性松弛的系统，如果由一个有界输入所产生的输出也是有界的，即则称系统是BIBO稳定的。注：BIBO稳定性必须假定系统(xìtǒng)是松弛的，因为系统(xìtǒng)的输入输出描述是在此假定下才有意义。系统(xìtǒng)的输入输出描述有脉冲响应函数和传递函数两种稳定性判据也有相应的两种形式。单变量线性系统的BIBO稳定性⑴脉冲响应函数判据定理线性系统的输入输出描述则系统是BIBO稳定的充分必要条件是其中，M是一个(yīɡè)有限常数。证明(zhèngmíng)：充分性：显然，系统的输出是有界的。必要性：用反证法。假设存在某个时刻，使取输入显然u（t）是有界的，但是输出是无界的，所以系统不是BIBO稳定的。推论`对线性定常系统可取，则其BIBO稳定的充分(chōngfèn)必要条件是⑵传递函数判据定理如果单变量线性定常系统的传递函数是正则(或严格正则)有理函数，则其BIBO稳定的充分必要条件为：的所有极点都具有负实部。证明：若是正则有理函数，是其重极点，则通过部分分式展开后，必定包含(bāohán)因子它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下列因子上列因子绝对(juéduì)可积的充分必要条件是具有负实部，即系统是BIBO稳定的多变量线性系统的BIBO稳定性类似于SISO的情况（略）推广(tuīguǎng)形式:线性定常系统的状态空间描述则系统的传递函数阵为显然，的每一个极点都是A的特征值。所以如果A的所有特征值具有负实部，则的所有极点必定具有负实部，即系统必是BIBO稳定的。但这只是充分条件，而不是必要条件。例设系统(xìtǒng)的状态空间描述为A的特征值为-1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点-1，所以系统(xìtǒng)是BIBO稳定的。4.2系统(xìtǒng)的内部稳定性基本概念：非线性系统(xìtǒng)和平衡点自治(zìzhì)和非自治(zìzhì)系统注意：上述定义是对于闭环系统而言的。对于由控制器和控制对象组成的控制系统，其非自治(zìzhì)性可能源于控制对象或控制器随时间的变化。例如，对于一简单的控制对象：如果选择控制器是非线性和时变的（)则该控制系统是非线性且是非自治(zìzhì)的。自治和非自治系统(xìtǒng)间的区别平衡(pínghéng)状态在线性系统的分析和设计(shèjì)中，为了便于分析和简化记号，假定平衡点都是什么呢？状态空间的原点。对于非线性系统，如果给定一特定的平衡点x*，同样可以进行变换：可以证明（4.2）和（4.3）的解一一对应。公称运动假定x*（t）是系统（4.2）对应于初始状态x*（0）＝x0的公称运动轨迹，假定受扰的初始状态x（0）＝x0+x0现在的问题是研究(yánjiū)如何变化？例4.1考虑下面的质量弹簧系统(xìtǒng)现在的问题是确定初始位置为x0时运动x*（t）的稳定性解：扰动初始位置x0为x0+x0则关于运动误差的等价微分方程为显然，它是一非自治系统(xìtǒng)。注：对于线性系统(xìtǒng)而言，其等价系统(xìtǒng)仍是自治的。4.2Lyapunov稳定性的概念(gàiniàn)定义：如果对于任意的R>0，存在r>0使得当时，对于所有的t>0都有则平衡状态x＝0是稳定的，反之则是不稳定的。例4.2判断(pànduàn)下述系统的稳定性渐近稳定性和指数稳定性定义：如果(rúguǒ)平衡点0稳定，并且存在某个正数r使得隐含着当t时，x（t）0，则称它渐近稳定。稳定(wěndìng)稳定(wěndìng)稳定(wěndìng)稳定(wěndìng)稳定(wěndìng)稳定(wěndìng)平衡点的吸引域起始于其内的轨迹最终都收敛于原点的所有点的集合工程(gōngchéng)上，有时还要求尽快回到平衡点0指数稳定的定义如果存在两个严格的正数和，使得在原点的某个领域Br上，有则称平衡点0是指数稳定的。含义：指数稳定的系统的状态向量(xiàngliàng)收敛到原点的速度比指数函数还快。局部和全局稳定(wěndìng)性的概念如果对于状态空间上的任意初始状态，都是渐近稳定(wěndìng)（