李雅普诺夫稳定性理论(lǐlùn)。4.1李雅普诺夫稳定性定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二(dìèr)法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用*4.5李雅普诺夫方法在非线性系统稳定性分析4.1李雅普诺夫稳定性定义(dìngyì)．系统状态的运动及平衡状态李雅普诺夫关于(guānyú)稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。对于(duìyú)非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方程而定。3．范数的概念范数的定义n维状态空间中，向量(xiàngliàng)x的长度称为向量(xiàngliàng)x的范数，用表示，则：定义：对于系统，设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心(qiúxīn)、δ为半径的闭球域S(δ)内，即若能使系统从任意初态x0出发的解在t>t0的过程中，都位于以xe为球心(qiúxīn)、任意规定的半径ε的闭球域S(ε)内，即：则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。几何(jǐhé)意义几何(jǐhé)意义：定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有(jùyǒu)渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。定义：如果对于某个实数(shìshù)ε>0和任一实数(shìshù)δ>0，不管这两个实数(shìshù)多么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称平衡状态xe是不稳定的。对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然(suīrán)超出了S(ε)，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于S(ε)以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。从上述四种稳定性定义可见，球域S(δ)限制着初始状态x0的取值，球域S(ε)规定了系统自由运动响应的边界。简单地说，1.如果有界，则称xe稳定；2.如果不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则称xe渐进稳定；3.如果无界，则称xe不稳定；4.2李雅普诺夫第一(dìyī)法（间接法）[例设系统的状态(zhuàngtài)空间表达式为：BIBO稳定．非线性系统的稳定性判定对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用定理[4.1]的方法(fāngfǎ)来研究。李雅普诺夫给出以下结论：（1）A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是渐进稳定的；（2）A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是不稳定的。（3）A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性，而要由中的决定。[例已知非线性系统(xìtǒng)的状态空间表达式，试分析系统(xìtǒng)平衡状态的稳定性。P162例4-24.3李雅普诺夫第二(dìèr)法及其主要定理直接(zhíjiē)法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。对于线性系统，通常用二次型函数作为李雅普诺夫函数。．预备知识1．二次函数的定义及其表达式①定义：设为n个变量(biànliàng)，定义二次型标量函数为：例如(lìrú)：2.标量函数V(x)的符号和性质设:,且在x=0处，V(x)≡0。对于x≠0的任何向量(xiàngliàng)。①V(x)>0，称V(x)为正定的。例如：②V(x)<0，称V(x)为负定的。例如：③V(x)≥0，称V(x)为半正定的。例如：④V(x)≤0，称V(x)为半负定的。例如：设实对称(duìchèn)矩阵李雅普诺夫第二(dìèr)法的判稳主要定理[例已知非线性系统(xìtǒng)的状态方程为:②系统渐进稳定的判别定理二[定理4.3]设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0,满足。如果存在(cúnzài)一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件定理的运动(yùndòng)分析：以二维空间为例[例已知非线性系统(xìtǒng)的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。若在该例中③系统李氏稳定的判别定理[定理4.4]设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0,满足。如果存在一个具有连续(liánxù)偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件[例已知非线性系统的状态方程为:试分析(fēnxī)其平衡状态的稳定性。④系统不稳定的判别定理[定理4.5]设系统状态方程为: