考研名师黄先开谈考研数学摘自黄先开博客考研名师黄先开指导考研数学2006-02-24问：请老师为大家讲解考研应注意的问题，主要讲解一下线性代数。黄先开：很高兴有这样一个机会，跟大家交流我们考研特别是线性代数这部分复习的时候应该注意哪些问题。跟高等数学和概率统计来比较的话，我们经常感觉到线性代数概念比较多，公式比较多，要记的结论也比较多。再有就是先后知识的联系特别紧密，但是数学一到四实际上我们现在这个线性代数的题量已经规定了，数学一到四都考五个题，填空选择题三个，剩下两个大题，内容实际上也刚好是三大块：行列式矩阵可以看作是线性的基础，这样的话有这个基础以后，向量和线性方程组可以看作是同一件事情两个不同的表现形式，再有二次型，只有数学一和三做要求了。围绕这样桓鱿蛄亢拖咝苑匠套榛?每年考一个大题。围绕向量和二次型某种意义上来讲，也会看作是同一件事情两个不同方面，每年考一个大题。数学三和四不要求二次型，围绕特殊向量基本上也是考一个大题。这是我们整个线性代数它的总的概况。我们希望大家复学时候应该有针对性的把矩阵和行列式这块基础打好。然后把我们向量和线性方程组这部分典型的情况弄清楚。有针对性的进行系统的归纳和总结。这样不管考填空题还是选择题还是考大题，题一出来基本上我们就可以比较清楚的判断，拿到这种题有哪些典型的我可以分析的思路，有哪些是典型的可以求解的方法。在做题过程中间，有没有比如相应的做题技巧，有没有值得注意的一些隐含的条件，它是从哪一种角度来归类和分析的。这样的话我们总体上把握以后，拿到这种题我们就比较有信心的相应的找到一个比较简便的、快速的准确的求解的方法，这是总体概况介绍。下面我很高兴回答大家的一些具体问题。问：我想问一下初等变换有哪些主要应用？黄先开：是我们矩阵里面最基础的问题，初等变换可以求向量组的秩，我们经常还会解方程组，这里头经常有同学有迷惑，我们求逆一般来讲我们构造这个矩阵是在右端加一个矩阵，我们强调行变换，我们解线性方程组时候要考虑线性矩阵和秩的问题，单纯求矩阵或者向量组的秩即可以做行变换也可以做列变换。如果我们把这个向量组当作是矩阵的列向量组，不仅仅求秩还要把其余向量，其实线性表示本质就是解方程组，这样我们跟初等变换一般情况下尽量能够习惯。问：关于线性代数的证明题内容关于向量的相关性概率很高吗？黄先开：线性相关和线性无关从考过情况来看，可以直接考，有时候也可能间接的考，比如要证明这个解系的时候，我们涉及到这个向量必须是线性无关的，要求证明它的线性无关，这个应该说是我们整个线性代数比较基础的问题，这种情况不见得直接考你，直接考当然也可以，但是结合我们线性方程组考，结合我们后面的向量，比如不同特征的向量，通过这种形式考也是比典型的表现形式，这是我们必须要掌握的。问：我是考数三感觉合同变换概念比较难理解，请老师大体讲一下？黄先开：合同变换是我们把二次型化为标准型的过程中间我们要引进的一个所谓的非退化的线性变换，这个地方我想相等一下必须是会退化的，也就是说我们这样一个变换的矩阵，必须是可逆的，所以我通过把二次型化为标准型的时候，我们就会发现把二次型化为标准型，转换为新的二次型它所对应的矩阵的时候，这个时候相等于对角型矩阵，但是一般我们找到一个非退化的矩阵，不见得刚好等于一个对角型矩阵，如果满足这样一个条件，我们定义这两个矩阵是合同的，就向对角化一样，那就是AP等于一个对角型的矩阵是对等，但是一般情况下不见得是对角型矩阵，我们说这两个是相似的。所以如果单纯从合同变换引出合同矩阵本身来讲，应该说这个概念不是特别难理解的，但是大家复习时候，应该注意到我有了这个合同矩阵的概念以后，这种合同矩阵它满足的相应的性质，从这个角度来理解可能就更好把握了，整个线性代数里矩阵之间有三种最典型的关系：一个两个矩阵式相似，一个两个矩阵式等价，还有两个两个矩阵式合同，应该注意这两种关系的联系和差别，我个人认为这三种关系里面实际上等价关系是最弱的一个关系，两个矩阵是相似，两个矩阵合同，那这两个矩阵一定是等价的，但是反过来不成立。相似与合同矩阵之间不能够互相推导。但是如果两个实对称矩阵是合同的，是相似的，那肯定是合同的。这就是说从整体上来看矩阵之间有三种关系，这三种关系里头的联系和差别如果能够从我刚才说这几个角度把握，我认为不管是什么矩阵，我们都能够比较好的理解和把握了。问：我觉得数学真题不是很难，我能做100分左右，但是我做你们出的卷子做60分就不错了，你们出的是不是很难，我复习应该以什么为主？黄