（2012·济南）28．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），∴，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=．如答图1所示，连接O1B、O1B，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=．（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2－1，∴顶点P坐标为（－2，－1），对称轴为x=－2．又∵A（－3，0），B（－1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（－4，3）．又∵点M为BD中点，B（－1，0），∴M（，），∴BM=；在△BPC中，B（－1，0），P（－2，－1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：，MN．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，，∴点N的坐标为（，）或（，）．（2012·青岛）24．(12分)如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ⊥AB？(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．（2012·菏泽）21.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为,将此三角板绕原点逆时针旋转，得到.（1）一抛物线经过点、、,求该抛物线的解析式；（2）设点是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.xyO-11221（3）在（2）的条件下，试指出四边形是哪种形状的四边形？并写出四边形的两条性质..解：(1)是由绕原点逆时针旋转得到的，又，.----------1分设抛物线的解析式为，抛物线经过点、、，，解之得，满足条件的抛物线的解析式为.----------3分xyO-11221·（2）为第一象限内抛物线上的一动点，设，则，点坐标满足.连结,.----------5分假设四边形的面积是面积的倍，则，即，解之得，此时，即.----------7分存在点，使四边形的面积是面积的倍.----------8分（3）四边形为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等.----------10分或用符号表示：①或;②;③;④.----------10分（2012·黄冈）24．(12分)某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定