2012年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．设集合，若，则实数a的取值范围是（）(A)(B)或(C)或(D)答案：C。解析：由，得，，又，所以有或，即或。2．若三点共线，则（）（A）2（B）－2（C）－3（D）3答案：D。解析：由，得，解得。3．不等式的解集为（）（A）（B）（C）（D）答案：A。解析：由得。4．已知函数和，则满足的实数的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4答案：C。解析：作出函数和可以看出有3个交点。5．等差数列的前n项和为Sn，且，则=（）（A）1（B）2（C）（D）答：C。解析：，=。6．设是方程的两实数根，则（）（A）（B）（C）（D）解：B.由是方程的两实数根得，则二、填空题（每小题9分，共54分）1、设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于________.解：由题设知化简得解之得（舍去）,故等于4.2．在数列中，设，，，，则．答案：－1。解析：由条件得数列是以周期为6的数列，故。3．设函数，，则的值域为。答案：。解析：由解得，即有，作出图象可得。4．若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为.答案：（5，7）。解析：由｜3x-b｜＜4得，由解得。6使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值是______.解：令，则数列是递减的，所以所求最小正整数应满足：，求得最小正整数=2014.三、（20分）解方程组：解一：由（1）变形得：………………5分解得：，即，即成等比数列。………………10分所以可设,代入<2>整理得：,即或………………15分所以，经检验，上述四个解都是原方程组的解。………………20分解二：由（1）变形得：………………5分解得：或者(因为,舍去)，于是。………………10分所以是方程：的两个根。解得或………………15分所以，经检验，上述四个解都是原方程组的解。………………20分四、（20分）设ΔABC三边BC、AC、AB的中点分别为D、E、F，边BC上的高为AH，求证：∠EDF＝∠EHF。证明：由已知有ED//AB，FD//AC，即AFDE是平行四边形，∴∠EDF＝∠BAC，………………5分因E是直角三角形AHC斜边的中点，故EH＝EA，∴∠1＝∠2，………………10分同理∠3＝∠4，………………15分∴∠EHF＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝∠BAC，所以∠EDF＝∠EHF。………………20分五、（20分）已知数列的通项公式设的前项和为，求使成立的自然数的最小值.解：，………………5分故，………………10分所以，………………15分又有最小值63.………………20分