商丘职业技术学院课程教学设计（2学时）授课人：祝福教学内容（章节、专题）第七章差分方程模型§1市场经济中的蛛网模型教学目标与要求理解市场经济中的蛛网模型基本思想和方法，掌握市场经济中的蛛网问题的建模及分析讨论。教学重点市场经济中的蛛网问题的数学建模。教学难点市场经济中的蛛网问题的数学建模及分析讨论。选用教学素材与设备《数学模型》的各种教材及参考书籍。教学设备为：白板、水笔、多媒体课室及相关设备等。教学过程、内容（含教与学的方法）§1市场经济中的蛛网模型[问题的提出]在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如猪肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下降，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其它农副业．过一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨．生产者看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面．在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去．在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的．因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低．而下一时期商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低生产的数量就越少．这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的．在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，如果没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃．[模型的建立及求解]本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济趋于稳定的条件．再用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型作适当推广．记第时段商品的数量为，价格为，．这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期．同一时段商品的价格取决于数量，设它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数．因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线表示它，称需求曲线．下一时段商品的数量由上一时段价格决定，设这里g是h的反函数。h或g反映生产者的供应关系，称供应函数．因为价格越高生产量(即下一时段的商品数量)越大，所以在图中供应曲线g是一条上升曲线．图中两条曲线相交于点．是平衡点，其意义是，一旦在某一时段有，则由(1)，(2)可知，，，…，即是以后各时段商品的数量和价格将永远保持在点．但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在点，不妨设偏离(如图1)．我们分析随着是的增加，的变化．商品数量给定后，价格由曲线上的点决定，下一时段的数量由曲线g上的点决定，又由上的点决定，这样得到一系列的点(，)，(，)，(，)，(，)，…，在图1上这些点将按箭头所示方向趋向，表明是稳定的平衡点，意味着市场经济(商品的数量和价格)将趋向稳定．但是如果需求函数和供应函数由图2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照，，，，…的规律变化而远离，即是不稳定的平衡点，意味着商品数量和价格将出现越来越大的振荡．图1和图2中折线，，，，形似蛛网，所以这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称蛛网模型．实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的．一般地说，f取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力、经营水平等因素有关．比如当消费者收入增加时，f会向上移动；当生产能力提高时，g将向右移动．一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定，就完全由这两条曲线在平衡点附近的形状决定．只要分析一下图1和图2的不同之处就会发现，在附近，图1的f比g平缓，而图2的f比g陡峭．记f在P点斜率的绝对值(因为它是下降的)为，g在P点的斜率为Kg，图形的直观告诉我们，当时点是稳定的(图1)，当时P点是不稳定的(图2)．由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有于经济稳定．为了进一步分析这种现象，下面给出蛛网模型的另一种表达形式——差分方程．[差分方程模型]在Po点附近可以用直线来近似曲线f和h，设(1)，(2)式分别近似为从二式中消去可得(7)是一阶线性常系数差分方程，对是递推不难得到容易看出，当是时，即Po点稳定的条件是而时，即Po点不稳定的条件是注意到(5)，(6)式中，的定义，有=，Kg=1/，所以条件(9)，(10)与蛛网模型中的直观结果(3)，(4)式是一致的．[模型解释]首先考察参数，的含义．由(5)式可知，表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；由(6)式可知，表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应的增加量．所以的数值反映消费者对商品需求的敏感