http://www.paper.edu.cn基于频罩法的FIR滤波器的设计史金芬（东南大学信息科学与工程学院，江苏南京210096Sjf-dx@sohu.com）摘要：非递归数字滤波器（FIR）与递归数字滤波器（IIR）相比最大的优越性是具有线性相位。利用频罩法，可以得到高效、窄过渡带、低复杂度的FIR数字滤波器。本文介绍了频罩法的原理，并以实例证明了采用频罩法设计的滤波器是具有高采样频率、低计算复杂度和良好的线性相位。关键词：数字滤波器；FIR；频罩法一、FIR与IIR滤波器设计概述根据处理信号的方式不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器，它们的区别主要在于数字滤波器采用软件（程序）的数值计算，而模拟滤波采用硬件电路获得。模拟滤波器不论在性能，精度，使用灵活性，集成度等方面均远远不如数字滤波器，所以随着数字技术的发展，数字滤波器越来越得到广泛的应用。数字滤波器分为IIR和FIR两大类，已有的设计方法很多。IIR滤波器的系统函数与模拟滤波器系统函数都是有理函数，有着对应关系，而且模拟滤波器的设计从理论到工程实践已图表化并具有优良幅频特性等优点，所以IIR滤波器的设计常用间接的方法，即按给定的指标，先设计一个模拟滤波器，进而通过模拟域与数字域的变换，求得物理可实现的数字滤波器。而FIR滤波器系统函数与模拟滤波器系统函数没有对应关系，因而FIR滤波器的设计不同于IIR可以采用间接的方法，只能采用直接的方法。设计的核心是求出有限的脉冲响应来逼近给定的频率响应，理论证明FIR滤波器脉冲响应在满足h(n)=±h(N-1-n)的对称条件下具有严格的相位，使所设计的数字滤波器无相位失真。二者相比，IIR滤波器的优点是可以用较低的阶数获得高选择性，所用存储单元少，经济而效率高，在相同门级规模和相同时钟速度下可以提供更好的带外衰减特性。其缺点是因为内部存在反馈环所以稳定性不高，不易实现线性相位，IIR滤波器的频率选择性越好，则相位的非线性越严重，而且为了减少运算误差，IIR滤波器对运算的精度要求也很高。FIR滤波器的优点是因为传输函数的极点固定在原点FIR滤波器采用非递归结构，因而系统稳定，对运算精度要求不高，运算误差也较小。其最大优点是很容易实现严格的线性相位，使信号经过处理后不产生相位失真，舍入误差小，稳定而且能够设计具有优良特性的多带通滤波器、微分器和希尔伯特变换器。所以在数字系统、多媒体系统中获得极其广泛的应用。缺点是对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所需的阶数比IIR高5～10倍，因而使成本增高[3]。针对FIR滤波器这一缺陷，以下将介绍一种采用内插法的频罩技术实现尖锐滤波器的方法。这种滤波器有非常少的系数。对于给定的频率响应指标，它的有效滤波长度（包括零和非零的系数）仅比相同指标的最适宜的滤波器无限字长的极大极小值长一点。由于它的系数只有一小块是非零的，因而它的复杂度比无限字长的最适宜滤波器低得多。二、频罩法设计滤波器的原理-1-http://www.paper.edu.cn1、频罩法基本原理频罩法的原理如图1所示，其基本原理是先设计一个原型滤波器，它的Z变换转移函jw数是Ha(z)，过渡带宽是△a，频率响应Ha(e)如图1(a)所示。将这个滤波器每个延迟部分用M来延迟，即对滤波器系数进行M插值，得到延迟之后的滤波器，其Z变换转移方程是MjwjMwHb(z)=Ha(z)，频率响应是Hb(e)=Ha(e)，成为有数个通道的滤波器，如图1(b)所示。如jwjw果Hb(e)被一个图1(c)所示的频响Hc(e)的滤波器频罩，那么就得到一个图1(d)所示的频jwjwjwjwjw率响应Hd(e)=Hb(e)Hc(e)，过渡带宽是△a/M。如果Hb(e)被如图1(e)的He(e)的滤波jwjwjw[2][3][5][6]器频罩，得到频率响应Hf(e)=Hb(e)He(e)如图1(f)，过渡带宽也是△a/M。Hd(ejw)△aHa(ejw)△a/Mωω0π0πHe(ejw)dHb(ejw)a△a/Mωω0π0πHf(ejw)eHc(ejw)bωω0π0fπc图1频罩法原理示意图可以看出，利用频罩法设计的滤波器具有尖锐的过渡带宽，并且具有较低的阶数，大大降低了计算的复杂程度，有效地解决了线性FIR数字滤波器阶数过高的难题。另外由频罩法原理可知，原型滤波器和罩子滤波器的复杂度都随M变化而变化，因此选择适当的M值十分重要。2、宽带滤波器的频罩法实现以上是简单的窄带FIR滤波器的实现原理，对于宽带滤波器，则要采取互补滤波器。在用频罩法进行带宽滤波器的设