容斥原理解答一个含有数量关系的问题时，只要把题目由日常语言译成代数语言就行了。——牛顿在应用加法原理时，关键在于把所要计数的对象分为若干个不重不漏的类，使得每类便于计数。但是具体问题往往是复杂的，常常难以分为不重不漏的类，而要把条理分清楚就得用加法原理的推广——容斥原理，先请看一个例子。某校同学参加全市的数学和语文学科竞赛，结果有23人获得数学竞赛优胜奖，有15人获得语文竞赛优胜奖，其中有8人两门学科竞赛都获得优胜奖，问：这个学校有多少名学生获奖？分析与解显然，不能把23和15相加所得的和38当作获奖的学生总数，因为有8人既得了数学优胜奖，又得了语文优胜奖，所以在这38人中他们被重复计算了一次，应该扣除掉．所以获奖学生数应该是23+15-8=30（人）。像上例这样有重复包含的情况，在解题时应该考虑排除由于重复或相互包含而引起多加或多减的数学问题，就是包含与排除问题，也称作重叠问题。如图7-1所示，两张面积分别为A、B的圆纸片盖在桌面上，它们重叠的部分的面积为C，则它们所盖住的桌面的面积S，等于它们的面积之和(A+B)减去它们相互包含（重叠的部分）的面积C。即S=A+B-C。这就是解决包含与排除问题的重要原理——容斥原理，即当两个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部分。例1如图7-2，在边长为1的正方形中，以其一对相对顶点为圆心，边长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是解:正方形可以看作是两个EQEQ\F(1,4)的圆重叠而成的，而图7—2重叠部分是阴影部分，所以有正方形面积=EQ\F(1,4)圆面积+EQ\F(1,4)圆面积-阴影部分面积，从而有l=EQ\F(1,4)π+EQ\F(1,4)π一阴影部分面积．故阴影部分面积=EQ\F(π,2)-1例2在l到100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？分析与解从1到100的全部自然数中除去3或5的倍数，剩下的数既不是3的倍数，也不是5的倍数。不难知道3的倍数有3，6，9，…，99共33个；5的倍数有5，10，15，…，100共20个，其中既是3的倍数同时又是5的倍数即15的倍数有15，30，45．…，90共6个。根据容斥原理，3或5的倍数有33+20-6=47（个）．从而，既不是3的倍数也不是5的倍数的数共有100-47=53（个）答：既不是3的倍数也不是5的倍数的数共有53个。下面的图7-3能帮助我们看清这一点。在运用容斥原理时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。之所以产生计数上的重复，原因在于我们采用了两种分类标准：第一分类标准是3的倍数与不是3的倍数，第二种分类标准是5的倍数与不是5的倍数，由于标准不同，结果产生交叉重叠。一般地，对n个事物，如果我们采用两种不同的分类标准：按性质A分类与按性质B分类，那么具有性质A或性质B的事物个数等于具有性质A的事物的个数nA与具有性质B的事物个数nB的和减去同时具有性质A和性质B的事物个数nAB。从图7-4中可以比较清楚地看到这一点。如果采用三种不同的分类标准：A性质、B性质和C性质，要计算具有性质A或B或C的事物个数将会更复杂些。这是因为简单地把具有性质A的事物nA个，具有性质B的事物nB个，具有性质C的事物nc个相加得和nA+nB+nC，那么同时具有性质A及B，B及C或C及A的事物都分别被加了两次，用nAB,nBC，nCA分别表示它们的个数，于是作差（nA+nB+nC）-（nAB+nBC+nCA）但这样一来，假设存在同时具有性质A，B，C的事物nABC个。那么它们在nA，nB，nC，中被加3次，却又在nAB,nBC，nCA删中被减3次，其实没有被计算在内，因此还应补上，正确结果是（nA+nB+nC）一（nAB+nBC+nCA）+nABC这是较前面所述更为复杂些的容斥原理的一种形式，如图7-5所示。例3在l到100的自然数中，既不是3的倍数也不是4与5的倍数的数有多少个？分析与解只需求出是3或4，5的倍数有多少个，问题也随之解决了。3的倍数有3，6，9，…，99，共33个；4的倍数有4，8，12，…，100，共25个；5的倍数有5，10，15，…，l00，共20个。我们还应注意下面这些数：3与4的公倍数有l2，24，…，96，共8个；3与5的公倍数有l5，30，…，90，共6个；4与5的公倍数有20，40，…，100，共5个；3，4，5的公倍数有1个：60。根据容斥原理，l到100的自然数中，3，4或5的倍数共有(33+25+20)-(8+6+5)+1=60（个）．因此，1到100的自然数中既非3，4也不是5的倍数有100-