数学奥林匹克高中训练题（27）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若是上的减函数，且图像经过点和点，则不等式的解集为(D)．(A)(B)(C)(D)2．(训练题57)若函数的图像关于直线对称，则的值等于(C)．(A)或(B)或(C)或(D)或3．(训练题57)设椭圆的方程为为短轴的一个端点，为椭圆上相异两点，若总存在以为底边的等腰，则直线的斜率的取值范围是(C)．(A)(B)(C)(D)4．(训练题57)是定义在上的函数，且对任意的满足．已知当时，．那么，当时，的表达式为(C)．(A)(B)(C)(D)5．(训练题57)已知是边长为１的正方体，为线段上的动点，为底面上动点．则的最小值为(A)．(A)(B)(C)(D)6．(训练题57)已知在数列中，为前项的和，且满足．则的表达式为(D)．(A)(B)(C)(D)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题57)在中，于，且．则的最大值为．2．(训练题57)已知函数的反函数图像关于点成中心对称．则实数的值3．3．(训练题57)集合，当时，的取值范围为．4．(训练题57)已知线段平面，且到平面的距离等于８，点是平面内的一动点，且满足．若，则点与距离的最小值为17．5．(训练题57)已知多项式整除多项式．则实数3，．6．(训练题57)设，其中表示不超过的最大整数。则值等于242．三、(训练题57)(本题满分20分)已知的三内角平分线分别为．若向量满足关系，试证：为正三角形．四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列表示其前项和．若满足关系，求数列的通项公式的表达式．()五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为，半短轴为，短轴的一个端点为，为椭圆上异于点的任意两点，．若点在线段上的身影为，试求点的轨迹．AGEFHODCB第二试一、(训练题57)(本题满分50分)如图，已知在中，为斜边的中点，为斜边上的高，延长到，使得为中线上任意一点，过作的延长线于，连结交于．求证：．二、(训练题57)(本题满分50分)设．求函数的值域．其中表示不超过的最大整数．三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．