关于电容系数线性叠加原理的简单证明和电容系数正负的确定。在很多电动力学书本上，都会说，显然，电容系数的作用是线性叠加的。我认为能够这样说的原因是，只要利用简单的电磁学知识，就可以证明这一点。要证明线性叠加原理，只要证明，对于导体系A1,A2,A3,A4,A5…An,其任意两个个静电平衡状态线性叠加都可以形成新的静电平衡状态。这里的线性叠加包括电荷分布、电场、电势的线性叠加。构造导体系的两个静电平衡态，其在全空间的电荷密度分布分别是ra()r和rb()r，将这两个电荷分布线性叠加，有rc(r)=+rrab(rr)()由于静电平衡的条件是E0in=，即，对于导体内部的任意一点，有：1r(r¢¢)()rr-E()r0==dt¢ò34πε0||rr-¢那么对于两个静电平衡态的叠加态rc()r，代入rc(r)=+rrab(rr)()1r(r¢¢)()rr-Er()=cdt¢3ò34πε0||rr-¢1(rr(r¢)+-(r¢¢))()rr=abdt¢ò34πε0||rr-¢11rr(r¢)(r--r¢)(r¢¢)()rr=+abddtt¢¢òò334πε00|r--r¢¢|4πε||rr=0+=00所以，任意两个静电平衡分布态的线性叠加态仍然是静电平衡态。这里我们可以看出，电场也是线性叠加的。由电荷分布和电场分布是线性叠加的，且积分运算是线性运算，电势是电场从无穷远处开始的积分，我们可以知道，电势也是线性叠加的。即rj(r)=-E()rl¢¢dccò无穷远gr=-+(E(r¢)E(rl¢¢))dò无穷远abgrr=--E(r¢)ddl¢E()rl¢¢òò无穷远abgg无穷远=+jjab(rr)()（由电荷分布线性叠加得到电势、电场的线性叠加是非常基础的问题）由此就可以轻松地得到电容的线性关系：所有的由N个导体构成的导体系的静电平衡态都可以分解成N个静电平衡态的线性叠加，其中第j个静电平衡态只有第j个导体带有净电荷Qj，其他导体不带有净电荷。那么定义电容系数的逆阵元：-1jij=CijjQ这里，第一个脚标i表示第i个导体，第二个脚标j表示第j个静电平衡态，也就是只有第j个导体带电的态。根据静电平衡态的电荷分布和电势分布都是满足线性叠加的，必然有总的静电平衡态是这N个静电平衡态的线性叠加，即NNjj==C-1Qiååijijj……………………○1ii==11这样，我们使用十分简单的方法就证明了每个导体上的带电量对任意导体电势的贡献是线性叠加的。如果我们使用另外一种方法来分解一般的静电平衡态，不再按照净电荷分解，而是按照电势分解。即，将N个导体的静电平衡态分解为N个静电平衡态，第j个静电平衡态只有第j个导体具有电势jj，其他导体都接地，那么定义电容系数Qij=Cijjj同样根据电势和电荷分布的线性叠加性，将这N个态叠加，有：NNQQ==Cjiååijijj……………………○2ii==11-1由○1和○2可以知道Cij是Cij构成的矩阵的逆阵元。下面寻找电容系数正负号的关系。-1首先研究Cij。这里，我们考虑上面使用过的第j个导体带有单位电量的正电荷，其他导体均不带有电荷的情况。这时，必然由第j个导体发出电场线，经由其他导体，最终指向无限远。（因为其他导体收到和发出的电场线相等，所以我们可以认为电场线只是经过了它们。）第j个导体显然电势是正的（它发出的电场线都指向无限远）。除去它之外的导体电势也必然是正的。因为电场线从第j个导体出发，经过它们，到达无限远，那么，只要找到一条从它们出发指向无限远的电场线进行积分，必然可以得到其电势是正的。这样可以得到关系式：jjj=CjjQj>0i¹j=>CQijj-1所以我们有C0ij>总是成立。然后，再研究Cij考虑上面用到的第二种分解方法，只有第j个导体具有单位大小的正电势，其他导体电势均为0。由于只有第j个导体电势为正，整个空间的电场线均来源于此，则其必然带有正电荷。故C0ii>由于其他导体电势均为0，则不存在一条电场线连接它们或者从它们发出指向无穷远。所以，其他导体只能收到来自第j个导体的电场线，不发出电场线（只要发出，不论指向无穷远还是指向其他导体，都是不成立的）。只收到电场线，则其表面全部都是负电荷，故Cij<¹0()ij。最终，我们证明了线性叠加原理可以应用到电容系数和逆电容系数上，NNj=C-1Q即公式iåijj和Qi=åCijjj是成立