高中物理奥赛经典极限法（）五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。赛题精讲1：如图5—1所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的最大动能为。：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx①由机械能守恒有：mg(h+x)=Ek+12kx2②联立①②式解得：Ek=mgh－22mg2k2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与β角有关，求时间t对于β角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为：a=gcosβ该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则：12at2=OP所以：t=2OPgcos?①由图可知，在ΔOPC中有：oOPsin(90)??=oOCsin(90)????图5—1图5—2高中物理奥赛经典极限法（）所以：OP=OCcoscos()????②将②式代入①式得：t=2OCcosgcoscos()?????=??4OCcoscoscos(2)g??????显然，当cos(α－2β)=1，即β=2?时，上式有最小值。所以当β=2?时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。此题也可以用作图法求解。3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：vy=v0tanθ=gt，解得运动时间为t=0vgtanθ该点的坐标为：x=v0t=20vgtanθ，y=12gt2=20v2gtan2θ由几何关系得：Hcos?+y=xtanθ解得小球离开斜面的最大距离为：H=20v2gtanθ?sinθ这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角。：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。根据平抛运动的规律，水流的运动方程为：020xvcost1yvsintgt2????????????把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：20v=－22gd2(hdtan)cos???=2gddsin2h(cos21)????图5—图5—4高中物理奥赛经典极限法（）=2222222gddhdhsin2cos2hdhdh???????????????令hd=tanθ，则22ddh?=cosθ，22hdh?=sinθ，上式可变为：20v=222gddhsin(2)h?????显然，当sin(2α－θ)=1时，即2α－θ=90°，亦即发射角α=45°+2?=45°+12arctanhd=45°+arctan43=71.6°时，v0最小，且最小速度为：v0=22g(d