二次曲线系的研究二次曲线系的研究二次曲线系的研究曲线系直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）圆系圆与圆过圆与圆的交点的所有圆方程可设为过圆与直线的交点的所以圆方程可设为二次曲线系定理一：给定五点,其中三点在直线l上,另外两点不在l上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）．定理二：给定五个点,其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线有四个不同交点，则过两曲线交点的曲线方程为:．推论二：若直线与圆锥曲线C：有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程为：．推论三：若四直线有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为:．推论四：的方程为：则曲线系为：．例1.曲线直线与轴交于，为椭圆的两顶点,在直线上任取一点，连接分别与椭圆交于连，求证过轴上的定点。方法1（韦达定理硬算）与椭圆联立得同理故过轴上的定点计算量如此之大若拓展到一般形式直接就是死曲线直线与轴交于,为椭圆的两顶点,在直线上任取一点，连接分别与椭圆交于连,交轴于点求证设用双直线，和椭圆表示双直线比较系数得用两直线与圆锥曲线的四个交点表示通过四个交点的另外两条直线,从而挑出主要系数即可大大减少计算量。例2已知椭圆,过椭圆上任意做椭圆两条弦，，求证：直线的斜率为定值用椭圆和双直线表示双直线（其中为椭圆切线)比较系数若推广到一般椭圆上点可视为两个点重合的情况，作其切线即有曲线系方程引理圆中的弦的中点,过任作两弦弦与分别交于求证以为原点，为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系圆心半径为双直线方程为令则两根为的横坐标即有了这个引理回到例题1即二十几行到十几行到几行的飞跃