一、定义及图象及性质：反比例函数有关的几何定值与定性（一）由yk得到kxy（即k等于其图象上任意一个点的横纵坐标之积）；x（二）中心对称性及轴对称性.二、几个基本结论：1．如图1，点C为双曲线yk（x＞0）上任一点，则有：SxAOCSBOC1k，S2矩形ACBOk；2．如图2，矩形OABC交双曲线yk（x＞0）于两点E、F，则有：①EF∥AC；②AECF；xBEBF3．如图3，A为双曲线yk（x＞0）上一点，B为x轴上的一点，若AC=nBC，设A点的坐标为(a，b)，x则有：B:，C:；yyyABCAEBkFy=xCOAxOCxOBx图1图2图3（4．如图4，A为双曲线ykxx＞0）上一点，平移直线OA分别交此双曲线、x轴于B、C两点，若OA=nBC，设A点的坐标为(a，b)，则有：B:，C:；5．如图5，等腰△OAB的底边OB在x轴上，两腰AO、AB分别交双曲线yk（x＞0）于C、D两点，x若OC=nBD，设C点的坐标为(a，b)，则有：D:，B:，A:，；6．如图6，直线ymxn与双曲线yk（x＞0）有唯一公共点P，且与两轴交于A、B两点，则有：xPA=PB；yyyAACBOCxOAPDBxOBx图4图5图67．如图7，直线ymxn交两轴于C、D两点，交双曲线yk（x＞0）于A、B两点，则有：AC=BD；x8．如图8，定直线l与双曲线yk（x＞0）交于A、B两点，定直线l与两轴交于C、D两点，P为A、1x2aabB之间双曲线上的一个动点，过P点作y轴的平行线l，分别交l1、l2于M、N两点，则有：PM有最大值，PN有最小值（柯西不等式：【∵(b)2≥0，∴ab≥2】的应用）；☆☆全国新动力数学教师交流群！588941503☆☆全国新动力数学家长学生交流群！237454837☆☆9．如图9，过原点的直线l分别与双曲线ym（x＞0）、双曲线yn（x＞0）交于P、Q两点，PA∥xxy轴，PB∥x轴，A、B在双曲线ym（x＞0）上，若设P点的坐标为（a，b），则Q点的坐标x为，A点的坐标为，B点的坐标为；图10图11图12☆☆全国新动力数学教师交流群！588941503☆☆全国新动力数学家长学生交流群！237454837☆☆2k13．已知F（2k，2k）为双曲线yk（x＞0）的焦点，直线yx是双曲线的准线.x（1）如图13（1），P为此双曲线上的一个动点，过P点分别作两轴的平行线交准线于M、N两点，过2P点作准线的垂线，H为垂足，则有：PF=PM=PN=PH；（2）如图13（2），过焦点F任作一条直线交此双曲线于P、Q两点，分别过P、Q两点作准线的垂线，A、B分别为垂足，则有：PQPFQF2(PAQB)；∠PEF=∠QEF.yyyPPPMHFFAFNQEQOxOxOx图13（1）B图13（2）图13（3）解题关键：（1）应用好双曲线上的点和反比例函数关系式的关系，巧设坐标；（2）灵活地运用双曲线面积结论（即k的几何意义）；（3）运用双曲线图形中的轴对称和中心对称关系解题；（4）联立ykxbx元二次方程（根的判别式、根与系数的关系）构题思维全部可以借鉴；ym，得：kx2bxm0仍然为关于x的一元二次方程，因此抛物线与一（5）斜线截距公式：M、N为直线ykxb上的两点，则MN1k2(xx)2；MN（6）一次函数与反比例函数值的大小关系（区间范围与取值范围），注意断点及附加范围；（7）双曲线的焦点与准线的性质及应用；（8）利用柯西不等式求有关分式at的最值；tb（at≥2at，即at≥2ab，但要注意t＞0）.bbbttt（3）如图13（3），过焦点F任作一条直线交此双曲线于P、Q两点，连接OF交准线于点E，则有：（9）比较两个几何量的大小：作差法（和0比）或作比值法（和1比），然后分类讨论；考查结论的可变性：（1）几何构造、几何性质的应用、根与系数的关系构题与24题重叠；（2）缘于双曲线的特点，注意比例线段条件下的坐标关系（共线线段、平行线段、垂直线段、等腰三角形两腰上的线段倍分）（2）含参点的坐标、解析运算与双曲线的特点结合构题可能性大；（3）考查分式的运算（作差法、作比值法），涉及因式分解下的通分、约分等运算；（4）注意阅读型、知识迁移型命