三年4考高考指数:★★了解曲线(qūxiàn)与方程的对应关系.1.求点的轨迹(guǐjì)、轨迹(guǐjì)方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹(guǐjì)一般为圆锥曲线；2.经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足(mǎnzú)某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都在________.那么，这条曲线叫作___________，这个方程叫作___________.【即时应用】(1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足(mǎnzú)“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？提示：不一定是.因为只满足(mǎnzú)“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？提示：不一定是.因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明这个方程可能(kěnéng)只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_________.【解析(jiěxī)】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.答案：两条直线2.圆锥曲线(yuánzhuīqǔxiàn)的共同特征及求曲线方程的步骤(1)圆锥曲线(yuánzhuīqǔxiàn)的共同特征圆锥曲线(yuánzhuīqǔxiàn)上的点到__________的距离与它到____________的距离之比为定值e.(2)求曲线(qūxiàn)方程的步骤【即时应用】(1)已知动点P到定点(dìnɡdiǎn)F(1,0)的距离与到定直线l：x=4的距离之比是，则点的轨迹是_______，其方程为________.(2)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足=x2+1，则点P的轨迹方程是_________.(3)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为__________.【解析(jiěxī)】(1)由圆锥曲线的共同特征知点P的轨迹为椭圆且焦点在x轴上，c=1,∴a=2,∴方程为(2)由题意得=(-2-x,-y),=(-3-x,-y)，所以=(-2-x,-y)·(-3-x,-y),又因为=x2+1,所以(-2-x,-y)·(-3-x,-y)=x2+1,化简得：y2+5x+5=0.(3)设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点D(),又C(5,0),|CD|=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又∵△ABC中的三点(sāndiǎn)A、B、C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).答案：(1)椭圆(tuǒyuán)(2)y2+5x+5=0(3)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))3.直线(zhíxiàn)与圆锥曲线的交点设曲线C1:f(x,y)=0，C2:g(x,y)=0,M(x0,y0)是曲线C1与C2的一个交点⇔，故求曲线交点即求方程组的实数解.【即时应用】(1)曲线(qūxiàn)与曲线(qūxiàn)C2:y=1－(x+1)2的公共点的个数是___________.(2)直线y=2x+3与抛物线y=2x2+x相交于A、B两点，则|AB|＝_________.【解析(jiěxī)】(1)由消去x得4y2－y－3=0,Δ＝(－1)2－4×4×(－3)=49>0，当y1=－时得同理可得y2=1时得x=－1,所以公共点的个数是3.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由消去y，整理得2x2－x－3=0①∴x1，x2是关于x的方程(fāngchéng)①的两根，∴x1+x2＝,x1x2=又|AB|＝其中k=2，则有答案：(1)3(2)直接法求轨迹方程【方法点睛】1.直接法如果(rúguǒ)动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.2.应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时(cǐshí)就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略