排列、组合和二项式定理计数原理（1课时）知识要点：分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有种不同的方法，在第2类中有种不同的方法……在第n类中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……，做第n步有种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。典型范例：例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.点评：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2：某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？分析：本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。解：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法。由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7=1050注，故至少要花1050×2=2100元。点评：解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还是分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。例3：用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数。分析：先根据条件把“比2000大的四位偶数”分类选取千位上的数字选取百位上的数字选取十位上的数字。解：完成这件事有3类方法：第一步是个位为0的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分类乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3=48个；第二步是个位为2的比2000大的4位偶数，它可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法。依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3=36个；第三类是个位为4的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类。对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的的比2000大的四位偶数有：4×4×3+3×4×3+3×4×3=120。点评：在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。练习：一、选择题1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）．A．种B．种C．3种D．15种分析：每封信有3种投法，5封信投完事情结束，用分步计数原理，所以是种，选B2．4个学生争夺3项比赛的冠军，每项比赛的冠军只有1个人，则不同的夺冠方式共有（）．A．种B．种C．18种D．12种[来源:学.科.网]分析：每个项目的冠军有4种可能，共有种，选B3．已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）．A．