西安邮电学院计算机系系统结构教研室2009.8第2章计算机中数制和编码2.1无符号数的表示和运算R为基数，表示R进制(如R＝2，10，16分别表示二进制，十进制，十六进制等)2.1.2各种数制的相互转换①任意进制数转换为十进制数的方法很简单，只要按其进制的多项式各位按权展开求和即可。例2.1将二进制数1101.11转换十进制数。(1101.11)2=123+122+021+120+12-1+12-2=23+22+20+2-1+2-2=8+4+1+0.5+0.25=(13.75)10②十进制数转换为任意进制数的方法采用。除R取余法（整数部分）乘R取整法（小数部分）。例2.2将十进制数25.6875转换为二进制数和十六进制数。225取余：10.6875×2＝1.375取整：1212取余：00.375×2＝0.75取整：026取余：00.75×2＝1.5取整：123取余：10.5×2＝1.0取整：121取余：10③十六进制和二进制之间的转换是非常简单的，只要按4位二进制数对应转换即可。方法是以小数点为界，整数部分自右至左，小数部分自左至右分组，二进制转换为十六进制，4位为一组，不足时补0。例2.3将二进制数1101110.11011B转换为十六进制数，将十六进制数3F.1BH转换成二进制数。【解】1101110.11011B＝0110,1110.1101,1000B＝6E.D8H3F.1CH=0011,1111.0001,1100B=111111.000111B2.1.3二进制数的运算(1)算术运算规则加：0＋0＝01＋0＝10＋1＝11＋1＝0（有进位）减：0－0＝01－1＝01－0＝10－1＝1（有借位）乘：0×0＝01×1＝11×0＝00×1＝0除：1÷1＝10÷1＝0(2)逻辑运算规则“与”（AND）：0∧0＝00∧1＝01∧0＝01∧1＝1“或”（OR）：0∨0＝00∨1＝11∨0＝11∨1＝1“非”（NOT）：0＝11＝0“异或”（XOR）：0⊕0＝00⊕1＝11⊕0＝11⊕1＝02.2带符号数的表示及运算2.2.1机器数与真值通常，把一个数及其符号位在机器中的一组二进制数表示形式称为“机器数”。机器数所表示的值称为机器数的“真值”。2.2.2机器数的表示方法在计算机中对于带符号的数是采用二进制编码（机器数）的方法表示。也即将其数的符号（正负号）用一位二进制数来表示，（“0”表示正，“1”表示负），放在最高位。其数值用二进制数表示。带符号数的二进制编码有三种方法：原码表示法、反码表示法和补码表示法。①原码定义：假设字长为n，则X0≤X＜2n-1；X为正数2n-1－X－2n-1＜X≤0；X为负数②反码定义：假设字长为n，则X0≤X＜2n-1；X为正数2n－1＋X－2n-1≤X＜0；X为负数③补码定义：假设字长为n，则X0≤X＜2n-1；X为正数2n＋X－2n-1≤X＜0；X为负数由上可知,正数的原码、反码和补码表示是相同的,而其负数的原码、反码和补码是有区别的，补码等于反码加1。例2.4求X＝－5的原码，反码和补码。【解】设字长n为8，则[X]原＝2n-1－X＝27－(-5)=128＋5＝10000000B＋101B＝10000101B[X]反＝2n－1＋X＝28－1＋(-5)＝255－5＝11111111B－101B＝11111010B[X]补＝2n＋X＝28＋(-5)＝256－5＝100000000B－101B＝11111011B2.2.3补码的运算目前，计算机中通常用补码进行带符号数的运算。补码运算的规则为：①[X]补±[Y]补＝[X±Y]补两数补码的和或差等于两数和或差的补码②[[X]补]补＝[X]原补码再求补等于原码2.2.4溢出及其判断方法(1)进位与溢出进位：用来判断无符号数运算结果是否超出了计算机所能表示的最大范围，是指运算结果的最高位向更高位的进位。溢出：用来判断带符号数运算结果是否超出了计算机补码所能表示的范围，是指带符号数的补码运算结果的溢出。(2)溢出的判断方法判断溢出的方法和多，常用的有：①观察法：通过观察参加运算的两数的符号及运算结果的符号进行判断，仅适用于手工运算。②双符号位法：通过运算结果的两个符号位的状态来判断结果是否溢出。③单符号位法：通过符号位和数值部分最高位的进位状态来判断结果是否溢出。（也称双高位法）当两个带符号的二进制数进行补码运算时，若运算结果的绝对值超过运算装置的容量，数值部分便会发生溢出，占据符号位的位置，从而