第六节多元函数极值一、多元函数极值例1函数，在原点(0,0)处取得极小值1.由于，对于任何点(x,y)≠(0,0)，都有例2函数，在原点(0,0)处取得极大值1.由于对于任何(x,y)≠(0,0)，都有定理10.6(极值存在必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点偏导数存在，则必有容易看出驻点(0,0)不是函数极值点.定理10.7(极值充足条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)某一邻域内有连续一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数一个驻点，即,记，则综合定理10.6，定理10.7，对于含有二阶连续偏导数函数z=f(x,y)求其极值环节下列：例3求函数极值.例4求函数极值.由极值充足条件知，知(0,0)不是极值点，f(0,0)=0不是函数极值.如何求函数z=f(x,y)在区域D上最大值、最小值呢？假如f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内一切驻点处函数值及函数在区域边界上最大值与最小值.在这些函数值中最大就是函数在D上最大值，最小就是函数在D上最小值.例5要用铁板做一个体积为常数a有盖长方体水箱，问水箱各边尺寸多大时，用材料最省.由第一个方程，得，将其代入第二个方程，得依据实际问题能够断定，A(x,y)在D内一定有最小值，而在D内只有唯一驻点，则该驻点就是A(x,y)最小值点，即当时，面积A取得最小值.此时高，即水箱为正立方体，每边长为时，所用材料最省.三、条件极值求函数z=f(x,y)，在约束条件下极值，称这种类型极值问题为条件极值问题.相对于条件极值，我们把函数(1)极值问题称为无条件极值问题.拉格朗日乘数法求函数z=f(x,y)在条件下极值，按下列办法进行：例6设周长为2p矩形，绕它一边旋转构成圆柱体，求矩形边长各为多少时，圆柱体体积最大.结构辅助函数：依据实际问题，最大值一定存在，且只求得唯一也许极值点，因此函数最大点必在处取到.即，当矩形边长时，绕y边旋转所得圆柱体体积最大，.例7某企业两个工厂生产一样产品,但所需成本不同,第一个工厂生产x个产品和第二个工厂生产y个产品时总成本为z=x2+2y2+5xy+700,若企业生产任务是500个产品,问每个工厂生产多少产品才干使总成本最小?得x=125,y=375