抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标准线方程范围对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0）离心率通径2p焦半径焦点弦长焦点弦长的补充以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为，若的倾斜角为，则3．抛物线的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．(4)焦点弦：抛物线的焦点弦，,,则．弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点(1)若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。(2)若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。(3)已知直线AB是过抛物线焦点F,(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：eq\o\ac(○,1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.eq\o\ac(○,2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5．弦长公式：,是抛物线上两点，则6.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：抛物线，联立方程法：设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB的弦长或b.中点,，点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得在涉及斜率问题时，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）相交相切相离位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：（1）（2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作，.两式相加即得：（2）当AB⊥x轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根为x1，x2，∴..故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程两边取导数：.由点斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：以下再举一例【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1