黔南民族师范学院数学系数学实验班级：10级数应（2）班姓名：马文强学号：2010051361--实验3π的计算实验目的：1．掌握数学实验的方法和过程，学会撰写数学实验报告；2．掌握π的几种计算方法和思想，并能用其中的一些思想方法计算e；实验内容：1．描述刘徽割圆术计算π的原理、方法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M文件。采取不同的分割计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进行比较，对算法进行分析。2．编写采用级数展开式和计算π的函数式M文件。调用编写的程序，尝试n取不同整数以求π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进行比较，对算法进行分析和比较。3．描述MonteCarlo方法计算π的原理、方法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M文件。调用编写的程序计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进行比较，并对算法进行分析。4．给出两种计算超越数e的方法，并通过数值计算实验进行算法分析。实验仪器与软件：1．CPU主频在2GHz以上，内存在512Mb以上的PC；2．Matlab2010a及以上版本。实验讲评：实验成绩：评阅教师：20年月日实验3π的计算计算π的刘徽割圆术刘徽采用的方法是用圆的正多边行逼近圆周从而导出圆周率。他从单位圆的正六边行开始，逐步成倍增加正多边行的边数。那么内接正多边行的面积就越来越接近单位圆的面积，其数值也就越接近圆周率。设an是第n步单位圆内接正多边形的边长，那么一开始，a1=1,当边长增加一倍成正十二边形时，其边长为；a(2)=sqrt((a(1)/2)^2+(1-sqrt(1-(a(1)/2)^2)^2)=sqrt(2-sqrt(4-a(1)^2))此时，正十二边形的面积为S2=10*1/2*oc*od=3*a(1)用完全类似的推导方法，党内街正多边形的边数由6*2^（n-1）增至6*2^n时，其边长a(n)至a(n+1)之间的关系为S(n+1)=6*2^n*1/2*1/2*a(n)=3*2^(n-1)a(n)使用MATLAB，创建文件calpi.m:functioncap1pi(n)a(1)=1;fori=1:n-1a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2));ends=3*2^(n-1)*a(n)二、采用级数展开式1．我们知道函数anctanx的级数展开式为arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...+(-1)^(n-1)*x^(2*(n-1))/(2*n-1)+…(IxI<=1)取x=1，就有Pi/4=1-1/3+1/5-…+(-1)^(n-1)*1/(2*n-1)+…即Pi=4*sum((-1)^(n-1)*1/(2*n-1)(n=1…)使用MATLAB,创建m文件：functioncalpai2(n)S=0;fori=1:nifmod(i,2)==0S=S-1/(2*i-1);elseS=S+1/(2*i-1);endendS=4*S优化：functioncalpai2_1(n)S=0;1fori=1:nifmod(i,2)==0S=S-1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1)));elseS=S+1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1)));endendS=vpa(4*S,30)结果：三、MonteCarlo方法1.原理：在一个正规图形A内存在一个需要求出面积的另一个图形B2.方法：在图形A内随机地投入大量的点，如果图形内任一处作为落点的机会相等，那么落在B内的点数n与投入的总点数之比应该恰为B的面积与A的面积之比。3.计算步骤：在xy平面上设A是正方形{0<x<1,0<y<1},而B是单位圆位于正方形A内的部分。在A上随机地投大量的点，那么落在B内的点数m与落在A内的总点数n之比应为B的面积与A的面积之比，即，从而∏=。4.程序：functiony=calpai4(k)m=0;forn=1:kifrand(1)^2+rand(1)^2<=1m=m+1;endendy=4*m/k;四、计算超越数e1.极限functions=lim(n)s=(1+1/n)^n;2.级数functionH(n)a=1;b=1;fori=1:na=a*i;b=b+1/a;ende=b五、实验总结通过这次实验你掌握了什么，学会什么，哪些是重点掌握和加以注意的。1.刘徽割圆术中n的取值要适中，并非n越大越精确。当其倍数超过16后随着n增大误差反而越大，所以应选择适中的n.2.级数展开用计算，有效位数低，不会达到我们