石嘴山三中2020-2021（1）高三年级期中考试数学（理科）命题人第I卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知实数集，集合，集合，则A．B．C．D．3．已知角的终边过点，则的值是A．B．C．D．4．某长江大桥的主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是B．C．D．5．函数的图像大致为A．B．C．D．6．下列命题中：①若“”是“”的充要条件；②若“，”，则实数的取值范围是；③已知平面、、，直线、，若，，，，则；④函数的所有零点存在区间是.其中正确命题的个数是A．B．C．D．7．如图，已知中，为的中点，，若，则A．B．C．D．8．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是A．9B．10C．12D．139．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为A．B．C．D．已知是定义在上的函数，且，如果当时，，则A．27B．-27C．9D．-911．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为A．B．C．D．12．已知函数若存在实数，满足，且，则的最大值为A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______________．14．已知数列的通项公式为，其前项和为，则________.15．在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为______.16．已知函数，则__________，若函数有无穷多个零点，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(本题12分)已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和18．(本题12分)已知.（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值.19．(本题12分)如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别为，的中点.（Ⅰ）证明：平面.（Ⅱ）若四边形为正方形，求平面与平面所成二面角的正弦值.20．(本题12分)今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影响.进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济.在“全民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角，且在该区域内点处有一棵树，经测量点到区域边界，的距离分别为，（为长度单位）.贾某准备过点修建一条长椅（点B，C分别落在，上，长椅的宽度及树的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（Ⅰ）求点到点的距离；（Ⅱ）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出最小面积.21．(本题12分)已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（选修4-4：坐标系与参数方程）(本题10分)已知曲线C的极坐标方程是，建立以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴的平面直角坐标系，直线的参数方程是(t为参数).（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A,B两点，且,求直线的斜率k.（选修4-5：不等式证明选讲）(本题10分)已知函数，.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）记的最小值为，若实数，满足，试证明：