第三章应变理论第三章应变理论设变形前物体内一点,其坐标为矢径为。变形后，该点变成，设其坐标为，矢径为（如图1所示）。于是，变形前后位置矢量之差称为点的位移矢量，记为，因而设在坐标系中的分量为即，因此（2）或显然，位移分量都是点的坐标的连续函数，当考虑动力学问题时，它们也是时间的函数。由于要求物体变形前后都是连续体，因此点变形后坐标与变形前是一一对性的，即而且反函数亦存在，即这说明雅克比行列式这被称为连续性公理，表示变形前物体的体元、面元和线元变形后仍为体元、面元和线元，物体既不会撕裂也不会重叠。物体的变形是由一点邻域内的局部几何变化来描述的，即由过该点P任一微分线元长度的变化和过点P任意两个微分线元之间夹角的变化来描述的。根据任意微分线元长度的变化（dS0变为dS)，按照拉格朗日描述可以定义描述大变形的格林应变张量，即§3-1位移和变形§3-1位移和变形§3-1位移和变形经过弹性体内的任意一点，沿轴和轴的方向取两个微小长度的线段和，如图3。假定弹性体受力以后,三点分别移动到。求线段和的正应变，即和，用位移分量表示。设点在方向的位移分量是，则点在方向的位移分量，由于坐标的改变，可用泰勒级数表示为由于位移是微小的，方向的位移所引起的线段的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段的正应变是由图可见，剪应变是由两部分组成的：一部分是由方向的位移引起的，即方向的线段的角；另一个部分是由方向的位移引起的，即方向的线段的转角。设点在方向的位移分量是，则点在方向的位移分量将是。线段的转角是于是可见，与之间的直角的改变（以减小时为正），也就是剪应变，为综合（3）、（4）、(5)三式，得出平面问题中表明形变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程在平面问题中的简化形式,也就是同理得可得其他分量该方程组称为几何方程，又称柯西方程，它给出了6个应变分量与3个位移分量之间的关系。如果对式（6）中后一列的3个式子两边同除2，并令张量形式为根据格林应变张量可以定义变形前后线元长度之比为伸长比，即即对小变形情况有：应变张量（或）给出了物体变形状态的全部信息。再看线元的转动，根据前面导出的结果，可知任意线元变形后的方向余弦为若变形前两线元互相垂直，即小应变张量的六个分量的几何意义：当指标i=j时，表示沿坐标轴i方向线性工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当时，的两倍表示坐标轴i与j方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增大）为负。例1.已知位移分量为式中为常数。试求应变分量，并指出所研究物体的受力状况。解：应变分量为物体的受力状况为等直杆两端承受着扭矩作用。的位移为,则点§3-3转动张量包含的刚性平动；包含的刚性转动；包括应变分量的纯变形。并且上述三步的次序是可以交换的。称（*）式为点的无限小应变张量，（**）式为点的无限小转动张量。可见应变张量是对称张量。而转动张量是反对称张量，元素和分别为无限小应变分量和无限小转动分量。注：由定义的变形分量排成形式，它不构成张量。通常称工程应变应变分量、转动分量与位移分量的关系用张量记号可表示为§3-4主应变和应变不变量由，上式有非零解的必要条件是系数行列式为零，即此式为应变张量的第一、第二、第三不变量。应变张量的第一、第二、第三不变量用主应变表示为（3）若特征方程式有重根时，相应的主方向是不确定的，对于一对重根，在平面内的任意两个正交方向都可选为主方向，第三方向与该平面垂直。（4）若特征方程式三个根均相等时，则过P点的任意三个垂直方向均可选为主方向。此时该点邻域内的变形为均匀膨胀或压缩状态。（5）在物体内点P处至少存在三个彼此正交的方向，变形后仍保持正交。参考于这三个正交的方向，切应变为零，而主应变即为对应的法向分量。例题解：1）由几何方程可知位移与应变的关系为通过对上式直接求导可得同一坐标平面上应变分量之间的关系，例如，由同理可得同理可得应变协调方程——圣维南（SaintVenant）方程圣维南（A.J.Saint-Venant）1797年生于法国，1886年逝世。1825年毕业于巴黎桥梁公路学校，后从事工程设计工作，1837年回该校任教，1868年当选为法国科学院院士。在弹性力学、塑性力学、流体力学等方面做出了贡献。他的力作用的局部思想被称为“圣维南原理”。应变协调方程的物理意义：物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！例1.设物体变形时产生的应变分量为试确定系数之间应满足