目录§3.1变形与应变概念§3.2主应变与主应变方向§3.3应变协调方程§3.1变形与应变概念位移u，v，w是单值连续函数进一步分析位移函数具有连续的三阶导数一点的变形通过微分六面体单元描述微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变——棱边的伸长和缩短切应变——棱边之间夹角（直角）改变几何方程位移分量和应变分量之间的关系几何方程——位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变——单元体的刚体转动刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动——变形位移的一部分，但是不产生变形。微分单元体的刚性转动与协调相关变形通过应变描述坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变张量应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴切应变为0的方向应变主轴方向的正应变应变不变量应力张量——应变张量应力不变量——应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的体积应变——弹性体一点体积的改变量引入体积应变有助于简化公式解释§3.3应变协调方程例3-1设ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得对x求一阶偏导数，则应变协调方程——圣维南（SaintVenant）方程变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。证明——应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标——如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。利用位移和转动分量的全微分，则如通过积分，计算出根据格林公式回代到第四式变形协调方程——单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的必要条件充分条件是位移的连续补充条件位移边界条件如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。