典型群的特殊子群的BN-对及其不变式的中期报告首先，让我们对典型群和特殊子群有一些基本了解。典型群是一类特殊的有限简单群，它们是在数学中非常重要的群之一。特殊子群是典型群的一类子群，它们在一些特定情况下具有特殊的性质。对于典型群G和它的一个特殊子群H，我们可以定义它们的BN-对。BN-对是一对(B,N)，其中B是G的一个Borel子群，N是H在B中的正规化子群。BN-对的研究在表示理论、Kazhdan-Lusztig理论等方面有广泛的应用。因此，研究BN-对及其性质对于理解典型群和特殊子群是非常重要的。在这个中期报告中，我们主要关注了典型群的特殊子群的BN-对及其不变式。我们研究了典型群的BN-对的分类和构造，特别是在定义域上的不同情况下的分类和构造。此外，我们还针对典型群的特殊子群的BN-对研究了它们的不变式。我们探讨了BN-对的不变式的定义和基本性质，并讨论了一些重要的例子，例如Kazhdan-Lusztig值和笛卡尔型里奇森多项式。我们还研究了不变式在代数、几何和组合等不同领域中的应用。在我们的研究中，我们还遇到了一些困难和挑战。例如，BN-对的不变式的求解通常是非常复杂且困难的，需要运用先进的代数工具和技术。此外，由于不变式在不同领域中的应用非常广泛，我们需要对不同领域的相关知识有一定的了解，这也需要我们进行大量的学术研究和阅读。总之，我们的中期报告展示了我们在典型群的特殊子群的BN-对及其不变式方面的研究成果，并探讨了一些未来可能的研究方向。