2023-2024学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数ᵆ满足ᵅ⋅ᵆ=1−ᵅ，则ᵆ=()A.1+ᵅB.−1+ᵅC.1−ᵅD.−1−ᵅ2.已知向量ᵄ=(1,5)，ᵄ=(0,3)，则|ᵄ−ᵄ|=()A.3B.5C.3D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点ᵃ，ᵃ，ᵃ，ᵃ在同一平面内，若四边形ᵃᵃᵃᵃ是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.83D.1634.已知平面ᵯ，直线ᵅ，ᵅ，若ᵅ⊂ᵯ，则“ᵅ⊥ᵅ”是“ᵅ⊥ᵯ”的()A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.在△ᵃᵃᵃ中，ᵄ=2，∠ᵃ=ᵰ，∠ᵃ=5ᵰ，则ᵅ=()3122226A.B.2C.D.6336.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间)，画出了如图所示的频率分布直方图.则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量ᵄ，ᵄ不共线，ᵅ=3ᵄ−ᵆ
，ᵄᵅ
=−2ᵆ
+6ᵄᵄ，若ᵅ与ᵅ
同向，则实数ᵆ
的值为()，A.−3B.−1C.3D.−3或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势.如图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度(以下简称增速)统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ᵃᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ//ᵃᵃ，ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=ᵰ，ᵃᵃ=2，ᵃᵃ=6，则ᵃᵃ与ᵃᵃ夹角的余弦值为()3A.7B.27C.21D.2114714710.已知|ᵃᵄ|=2，ᵃᵄ=2ᵄᵃ，若动点ᵄ，ᵄ与点ᵃ，ᵄ共面，且满足|ᵃᵄ|=|ᵃᵄ|，|ᵃᵄ|=|ᵃᵄ|，则ᵄᵄ⋅ᵄᵄ的最大值为()A.0B.1C.1D.22二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为2：2：3：3，现用比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取20人担任志愿者，则从曲艺社抽取的人数为______．12.袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1，2，3，4.若从中随机摸出一个小球，则摸到球的标号大于3的概率是______；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为偶数的概率是______．13.在△ᵃᵃᵃ中，点ᵃ，ᵃ满足ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵰᵃᵃ.若ᵃᵃ=1ᵃᵃ−1ᵃᵃ，则ᵰ=______．62，14.在△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃ=ᵰ，ᵄ=5，若△ᵃᵃᵃ存在且唯一，则ᵄ(ᵄ∈ᵄ)的一个取值为62______．15.已知向量ᵄ，ᵄ在正方形网格中的位置如图所示，向量ᵅ满足|ᵅ|=1，且ᵄ⋅ᵅ=ᵄ⋅ᵅ.若网格纸上小正方形的边长为1，则(ᵄ−ᵄ)⋅(ᵄ+ᵄ)=______，ᵄ⋅ᵅ=______．16.在正四棱锥ᵄ−ᵃᵃᵃᵃ中，ᵄᵃ与ᵃᵃ所成的角的大小为ᵯ，ᵄᵃ与底面ᵃᵃᵃᵃ所成的角的大小为ᵯ，侧面ᵄᵃᵃ与底面ᵃᵃᵃᵃ所成的角的大小为ᵯ，二面角ᵃ−ᵄᵃ−ᵃ的大小为ᵯ．给出下列四个结论：①ᵯ<ᵯ<ᵯ<ᵯ；②ᵆ
ᵄᵅᵯ=3ᵆ
ᵄᵅᵯ；③ᵆ
ᵄᵅᵯᵅᵅᵆᵯ=1；④ᵆᵅᵅᵯ−ᵆᵅᵅᵯ=ᵆᵅᵅᵯᵅᵅᵆᵯ．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)ᵃᵃᵃᵃ−ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=2ᵃᵃ=4ᵃᵃᵃ如图，在长方体1111中，，1，为1的中点．()ᵃᵃ//ᵃᵃᵃⅠ求证：1平面；()ᵃ