专题四开放探索问题1.主要类型:(1)条件开放探索问题(2)结论开放探索问题(3)条件和结论双重探索问题2.规律方法(1)开放探索性问题是指试题的命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的题型,既是中考的热点题型,也是中考命题中具有挑战性试题.(2)问题一般没有明确的条件或结论,没有固定的形式和方法,需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法.这类题主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新意识.3.渗透的思想:数形结合、转化思想、分类讨论等.类型一条件开放探索【考点解读】1.考查范畴:条件开放探索问题包括补充条件型、探索条件型和条件变化型.2.考查角度:已知题目的结论,但是缺少确定的条件,而满足结论的条件往往不是唯一的.【典例探究】【典例1】(2019·周口二模)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,CD平分∠ACB交AB于点D,点O在AC上,以CO为半径的圆经过点D,AE切☉O于点E.(1)求证:AD=AE.(2)填空:①当∠ACB=____________时,四边形ADOE是正方形;②当BC=____________时,四边形ADCE是菱形.【思路点拨】(1)由CD是角平分线得出∠ACD=∠DCB,根据OC=OD可知∠ODC=∠OCD,进而得出∠ODC=∠DCB,则OD∥BC,证出AB是圆的切线,利用切线长定理判断出AE=AD.(2)①当四边形ADOE是正方形时,利用正方形的性质解答即可;②当四边形ADCE是菱形时,利用菱形的性质解答即可.【自主解答】略【规律方法】解决条件开放类问题的方法从所给的结论出发,设想出合乎要求的一些条件,逐一列出,运用所学的定理,进行逻辑推理,从而找出满足结论的条件.【题组过关】1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;]③OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.【解析】(1)①②;①③.(2)选①②证明如下:如图,在△BOE和△COD中,∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,∴△BOE≌△COD(AAS).∴BO=CO.∴∠OBC=∠OCB.∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB.即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.选①③证明如下:如图,在△BOC中,∵OB=OC,∴∠1=∠2.∵∠EBO=∠DCO,∴∠EBO+∠1=∠DCO+∠2.即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.2.(2019·衡阳中考)如图,在等边△ABC中,AB=6cm,动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s),过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ,CE为边作平行四边形CQFE.世纪金榜导学号(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形?(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.(3)求DE的长.(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB′的值最小?并求出最小值.略类型二结论开放探索【考点解读】1.考查范畴:结论开放型问题主要有两种:一是判断结论是否成立,二是判断猜想结论.2.考查角度:设计例题,通过已知条件进行逻辑推理,判断结论是否成立或猜想结论.【典例探究】典例2(2019·绍兴中考)如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中,①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长.②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.【思路点拨】(1)①分两种情形分别求解即可.②显然∠MAD不能为直角.当∠AMD为直角时,根据AM2=AD2-DM2,计算即可,当∠ADM为直角时,根据AM2=AD2+DM2,计算即可.(2)连接CD1.首先利用勾股定理求出CD1,再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可.【自主解答】略【规律方法】解答结论开放问题的方法