2012年鄞州区高中数学青年教师解题竞赛试题（样卷）一、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题纸的相应位置．1、方程的解的个数是2、若多项式满足：，则不等式成立时，正整数的取值范围为3、如图：的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则BCOA4、已知点P是拋物线上的一动点，过点P作圆的切线,切点分别为，则弦的最小值是_________.5、已知：，且满足，求的最大值6、已知函数，，则7、已知点，抛物线的焦点为，连接交抛物线于点过点做准线的垂线交于点，若则8、设向量满足，，〈a-c,b-c〉=，则的最大值等于______________.9、已知三棱锥，且分别为的中点______________.10、在直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点;③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点;④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数.上述命题中正确的个数有_________个.二、解答题：（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11、如图，四边形ABCD中，AB=13,AC=10,AD=5.cos=,.(1)求；（2）若,求：x,y的值.12、已知数列﹛﹜如下排列：…………记,,…为﹛﹜，且，n,又上表每一行都是以为公比的等比数列，.（1）求﹛﹜的通项公式.（2）记第k行的和为S（k）,求S（k）的表达式.（3）若对于恒成立，求正整数k的取值范围.13、已知抛物线，过焦点F的直线AD,BC斜率分别为分别交抛物线于A,D和B,C.其中=1.设，.（1）是否存在实常数，使.（2）若,证明：AB过定点.14、已知，函数（1）方程有实数根，求m的取值范围.（2）方程上是否有两个不等的实根，若有求出的取值范围，（其中），若没有说明