【海文考研数学】：考研数学概率论公式集锦1．随机事件及其概率A∪Ω=ΩA∩Ω=A吸收律：A∪∅=AA∩∅=∅A∪(AB)=AA∩(A∪B)=AA−B=AB=A−(AB)反演律：A∪B=ABAB=A∪Bnnnn∪Ai=∩Ai∩Ai=∪Aii=1i=1i=1i=12．概率的定义及其计算P(A)=1−P(A)若A⊂B⇒P(B−A)=P(B)−P(A)对任意两个事件A,B,有P(B−A)=P(B)−P(AB)加法公式：对任意两个事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A∪B)≤P(A)+P(B)nnnn−1P(∪Ai)=∑P(Ai)−∑P(AiAj)+∑P(AiAjAk)+⋯+(−1)P(A1A2⋯An)i=1i=11≤i<j≤n1≤i<j<k≤n3．条件概率P(AB)P(BA)=P(A)钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-1-乘法公式P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)>0)P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2A1)⋯P(AnA1A2⋯An−1)(P(A1A2⋯An−1)>0)全概率公式nnP(A)=∑P(ABi)=∑P(Bi)⋅P(ABi)i=1i=1Bayes公式P(AB)P(B)P(AB)P(BA)=k=kkkP(A)n∑P(Bi)P(ABi)i=14．随机变量及其分布分布函数计算P(a<X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a)=F(b)−F(a)5．离散型随机变量(1)0–1分布P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1(2)二项分布B(n,p)若P(A)=pkkn−kP(X=k)=Cnp(1−p),k=0,1,⋯,n*Possion定理limnpn=λ>0n→∞kkkn−k−λλlimCnpn(1−pn)=e有n→∞k!k=0,1,2,⋯钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-2-(3)Poisson分布P(λ)λkP(X=k)=e−λ,k=0,1,2,⋯k!6．连续型随机变量(1)均匀分布U(a,b)⎧1⎪,a<x<bf(x)=⎨b−a⎪⎩0,其他⎧0,⎪⎪x−aF(x)=⎨,⎪b−a⎩⎪1(2)指数分布E(λ)−λx⎪⎧λe,x>0f(x)=⎨⎩⎪0,其他⎧0,x<0F(x)=⎨−λx⎩1−e,x≥0(3)正态分布N(µ,σ2)(x−µ)2−12f(x)=e2σ−∞<x<+∞2πσ(t−µ)2−1x2F(x)=e2σdt2πσ∫−∞*N(0,1)—标准正态分布x21−ϕ(x)=e2−∞<x<+∞2π钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-3-t21x−Φ(x)=e2dt−∞<x<+∞2π∫−∞7.多维随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布函数xyF(x,y)=f(u,v)dvdu∫−∞∫−∞边缘分布函数与边缘密度函数x+∞FX(x)=f(u,v)dvdu∫−∞∫−∞+∞fX(x)=f(x,v)dv∫−∞y+∞FY(y)=f(u,v)dudv∫−∞∫−∞+∞fY(y)=f(u,y)du∫−∞8.连续型二维随机变量(1)区域G上的均匀分布，U(G)⎧1⎪,(x,y)∈Gf(x,y)=⎨A⎩⎪0,其他(2)二维正态分布1⎡(x−µ)2(x−µ)(y−µ)(y−µ)2⎤−⎢1−2ρ12+2⎥12(1−ρ2)2σσ2f(x,y)=×e⎣⎢σ112σ2⎦⎥22πσ1σ21−ρ−∞<x<+∞,−∞<y<+∞9.二维随机变量的条件分布f(x,y)=fX(x)fYX(yx)fX(x)>0=fY(y)fXY(xy)fY(y)>0+∞+∞fX(x)=f(x,y)dy=f(xy)fY(y)dy∫−∞∫−∞XY钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-4-+∞+∞fY(y)=f(x,y)dx=f(yx)fX(x)dx∫−∞∫−∞YXf(x,y)fYX(yx)fX(x)fXY(xy)==fY(y)fY(y)f(x,y)fXY(xy)fY(y)fYX(yx)==fX(x)fX(x)10.随机变量的数字特征数学期望+∞E(X)=∑xkpkk=1+∞E(X)=xf(x)dx∫−∞