1999年4月InformationandControlApr.,1999基于控制器参数化的渐近跟踪与静态解耦王德进(黑龙江大学自动化系哈尔滨150080)摘要应用使闭环系统达到内稳定的控制器参数化结果和消除系统稳态误差的内模原理,讨论了MIMO系统渐近跟踪向量值阶跃参考信号及其静态解耦问题.通过选择控制器中的自由参数矩阵,对参考信号做内模配置,实现了MIMO系统的渐近跟踪与静态解耦.最后,给出具体算例,说明方法的有效性.关键词控制器参数化,内模原理,渐近跟踪,静态解耦1引言Youla等人[1]提出的保证闭环系统内稳定的控制器参数化结果,在近代频域控制理论中起着非常重要的作用[2]并有着广泛的应用.如利用这一结果可实现闭环系统各种性能(∞-范[3]数性能,2-范数性能、鲁棒性能、渐近性能等)设计.H∞控制理论中,控制器参数化方法起着非常重要的作用[4].众所周知,传统的系统输出渐近跟踪参考输入的设计方法是将参考信号的不稳定模式引入回路中,并设计控制器镇定系统[5].参考信号不稳定模式在回路中的复现,通常称之为内模原理.本文将利用使系统内稳定的控制器参数化结果,对控制器中的自由参数做插值限制,来实现内模原理,达到对参考信号渐近跟踪的目的.另一方面,MIMO系统的解耦控制是多变量系统控制所追求的一个目标.我们将看到,利用控制器参数化方法实现对向量值阶跃参考信号渐近跟踪的同时,也完成了静态解耦(t→∞时的解耦).2渐近跟踪与静态解耦考虑图1所示单位反馈系统.设对象传reyMIMO+C(s)p(s)递矩阵P(s)∈Hm×n,控制器C(s)∈Hn×m,Hm×n表示-m×n维正则实有理矩阵.参考信号r(s)=ds-1,其中图单位反馈系统1MIMOd是任意m×1常值向量,即r(t)是各分量幅值不同的阶跃函数.令从r到y的传递矩阵为Gyr(s),从r到e的误差传递矩阵为Ger(s).若反馈系统内稳定,应用拉氏变换终值定理,有-1lime(t)=lim[r(t)-y(t)]=limSGer(s)r(s)=limSGer(s)ds=Ger(0)d(1)t→∞t→∞s→0s→0-1limy(t)=limsGyr(s)r(s)=limsGyr(s)ds=Gyr(0)d(2)t→∞s→0s→∞定义1(1)若式(1)中的Ger(0)=0,则称反馈系统实现了对r(s)的渐近跟踪.(2)若式(2)中的Gyr(0)是对角和非奇异的,特殊情况下是一单位阵,则称反馈系统是静态解耦的.注以上只对阶跃参考信号定义了反馈系统的渐近跟踪与静态解耦.阶跃参考信号在实1997-03-25收稿黑龙江自然科学基金(F9717)资助项目第28卷第2期信息与控制Vol.28,No.2158信息与控制28卷际问题中是常遇到和重要的.引理1[4]将对象传递矩阵P(s)作双互质分解,即P(s)=NM-1=M~-1N~(3)~~XYM-YIn0~~=(4)-NMNX0Im其中8个矩阵均属于RH∞.则使P(s)稳定的所有正则有理控制器C(s),可用如下参数化公式表示-1~~-1~~C=(Y+MQ)(X-NQ)=(X-QN)(Y+QM)(5)~~其中Q∈RH∞,且det(X-NQ)≠0,det(X-QN)≠0.由引理1,我们有-1~-1~-1-1Ger(s)=[Im+P(s)C(s)]=[Im+MN(Y+MQ)(X-NQ)]~-1~-1~-1~-1-1=[MM(X-NQ)(X-NQ)+MN(Y+MQ)(X-NQ)]=(X-NQ)[M~X+N~Y+(N~M-M~N)Q]-1M~=(X-NQ)M~(6)由定义1和式(6),为实现渐近跟踪,我们得到如下关于参数Q的插值约束矩阵方程N(0)Q(0)=X(0)(7)其中N(0)-m×n维常值矩阵,X(0)-m×m维常值矩阵,Q(0)-n×m维未知常值矩阵.若记Xi(0)=[X1i(0),X2i(0),⋯,Xmi(0)],Qi(0)=[Q1i(0),Q2i(0),⋯,Qni(0)],为转置符号.则式(7)矩阵方程等价于m个线性代数方程组N(0)Qi(0)=Xi(0),i=1,2,⋯,m(8)引理2如果对所有i=1,2,⋯,m,有rank[N(0)]=rank[N(0),Xi(0)](9)则存在满足式(7)插值约束的Q(s)∈RH∞.-1证明令Q(s)=X(s+1),其中X-n×m维待定常值矩阵.这保证了Q(s)∈RH∞且有Q(0)=X.于是Q(s)=Q(0)(s+1)-1.如果式(9)秩条件成立,则m个线性代数方程组式(8