习题311验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间上的正确性解因为ylnsinx在区间上连续在内可导且,所以由罗尔定理知至少存在一点使得y()cot0由y(x)cotx0得因此确有使y()cot02验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性解因为y4x35x2x2在区间[01]上连续在(01)内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点(01)使由y(x)12x210x10得因此确有使3对函数f(x)sinx及F(x)xcosx在区间上验证柯西中值定理的正确性解因为f(x)sinx及F(x)xcosx在区间上连续在可导且F(x)1sinx在内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点使得令即化简得易证所以在内有解即确实存在,使得4试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间证明因为函数ypx2qxr在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点(ab)使得y(b)y(a)y()(ba)即(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)化间上式得p(ba)(ba)2p(ba)故5不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根并指出它们所在的区间解由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0所以由罗尔定理可知存在1(12)使f(1)0同理存在2(23)使f(2)0存在3(34)使f(3)0显然1、2、3都是方程f(x)0的根注意到方程f(x)0是三次方程它至多能有三个实根现已发现它的三个实根故它们也就是方程f(x)0的全部根6证明恒等式(1x1)证明设f(x)arcsinxarccosx因为所以f(x)C其中C是一常数因此即7若方程a0xna1xn1an1x0有一个正根x0证明方程a0nxn1a1(n1)xn2an10必有一个小于x0的正根证明设F(x)a0xna1xn1an1x由于F(x)在[0x0]上连续在(0x0)内可导且F(0)F(x0)0根据罗尔定理至少存在一点(0x0)使F()0即方程a0nxn1a1(n1)xn2an10必有一个小于x0的正根8若函数f(x)在(ab)内具有二阶导数且f(x1)f(x2)f(x3)其中ax1x2x3b证明在(x1x3)内至少有一点使得f()0证明由于f(x)在[x1x2]上连续在(x1x2)内可导且f(x1)f(x2)根据罗尔定理至少存在一点1(x1x2)使f(1)0同理存在一点2(x2x3)使f(2)0又由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0根据罗尔定理至少存在一点(12)(x1x3)使f()09设ab0n1证明nbn1(ab)anbnnan1(ab)证明设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)10设ab0证明证明设f(x)lnx则f(x)在区间[ba]上连续在区间(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即因为ba所以即11证明下列不等式(1)|arctanaarctanb||ab|(2)当x1时exex证明(1)设f(x)arctanx则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)即所以即|arctanaarctanb||ab|(2)设f(x)ex则f(