二次函数的平行四边形问题一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由．解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)．……2分⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴∴b＝当时，∴∴⑶存在．理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴点M的坐标为．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为．综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．2.已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMNP1P2备用图（1）.（2）由题意得点与点′关于轴对称，，将′的坐标代入得，（不合题意，舍去），.，点到轴的距离为3.，，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为..（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去），，.当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，．与关于原点对称，，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），，．存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等。1．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵对称轴又∵OC=3OB=3，，∴C（0，－3）………2分方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入得：解得：∴方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0)可令把C(0，-3)代入得：∴（2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。∵＝∵A(-4，0)，C(0，-3)设直线AC的解析式为代入求得：令，当时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值。方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作∥x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。则==令则当时，四边形ABCD面积有最大值。（3）如图所示，讨论：①过点C作∥x轴交抛物线于点，过点作∥AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，∵C(0，-3)令得：∴。∴2.已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线（≠0）的对称轴是顶点坐标是】解：（1）依题意∴，∴顶点坐标是（2，2）（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为且y2的顶点坐标是（4，3）∴y2＝－，即：y2＝（3）符合条件的N点存在如图：若四边形OPMN为符合条件的平