3.4生活中的优化问题举例导数在实际问题中的应用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．【问题导思】优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大、最小值．解决优化问题的基本思路eq\x(优化问题)eq\x(用函数表示的数学问题)eq\x(用导数解决数学问题)eq\x(优化问题的答案)上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．(对应学生用书)面积体积的最值问题用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【思路探究】【自主解答】设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)是增加的；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零．(2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】设弯成圆的一段铁丝长为xcm，则另一段长为(100－x)cm，正方形的边长为a＝eq\f(100－x,4)cm，圆的半径r＝eq\f(x,2π)cm.记正方形与圆的面积之和为S，∴S＝π(eq\f(x,2π))2＋(eq\f(100－x,4))2＝eq\f(4＋π,16π)x2－eq\f(25,2)x＋625(0＜x＜100)．又S′＝eq\f(4＋π,8π)x－eq\f(25,2)，令S′＝0，则x＝eq\f(100π,4＋π).∵S是关于x的二次函数，由其性质可知当x＝eq\f(100π,4＋π)cm时，面积之和最小．用料最省、费用最低问题图3－4－1某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)【思路探究】(1)根据题意，你能找出x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？【自主解答】依题意，有xy＋eq\f(1,2)·x·eq\f(x,2)＝8，所以y＝eq\f(8－\f(x2,4),x)＝eq\f(8,x)－eq\f(x,4)(0＜x＜4eq\r(2))，于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2(eq\f(\r(2)x,2))＝(eq\f(3,2)＋eq\r(2))x＋eq\f(16,x).l′＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2).令l′＝0，即eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2)＝0，解得x1＝8－4eq\r(2)，x2＝4eq\r(2)－8(舍去)．当0＜x＜8－4eq\r(2)时，l′＜0；当8－4eq\r(2)＜x＜4eq\r(2)时，l′＞0，所以当x＝8－4eq\r(2)时，l取得最小值．此时，x＝8－4eq\r(2)≈2.343m，y≈2.828m.即当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．1．本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理．2．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自