ProcesodePoissonAproximaciónPoissonaladistribuciónbinomialSines“grande”ypes“pequeño”tenemoslasiguienteaproximación:TeoremaSinyp0enformatalquenpaentoncesC(n,k)pkqnkeaak/k!DemostraciónDefinimosan=npasíqueana.Tenemosque:=▼EjemploSedistribuyenalazarnbolillasentrencajas.¿Cualeslaprobabilidaddeencontrarkbolillasenunadadacaja?C(n,k)(1/n)k(11/n)nke1/k!EjemploDurantelasegundaguerramundialcayeronsobreLondres537bombasvoladoras.Eláreaafectadafuédivididaen576sectoresiguales.SeaNkelnúmerorealdesectoresenloscualescayeronkbombas.Suponiendoquelasbombascayeronalazar,elnúmeroesperadodebombasporsectores537/576=0.932.Laprobabilidadquecaigankbombasenunsector,segúnlaaproximaciónPoisson,esPk=e0.932(0.932)k/k!Latablaadjuntamuestralacomparaciónentrerealyteórico:k012345Nk229211933571576Pk226211993172ProcesoPoissonAlolargodelejepositivodeltiempo(t>0)sepresentanaleatoriamenteeventos.Porejemplo,unasustanciaradioactivaemitepartículasolleganllamadasaunacentraltelefónica.Elmodelomássimpleparadescribirestetipodeprocesoeselquesedescribeacontinuación.Para0u<tllamemosAk(u,t]={enelintervalo(u,t]seemitenkpartículas}.Haremoslassiguienteshipótesis.I)Elprocesoeshomogéneoconrespectoaltiempo:P{A(u,t]}=Pk(tu)II)Loqueocurreenintervalosdisjuntosesindependiente:Ak(u,t]yAk(t,v]sonindependientes.III)Laprobabilidadquesepresentensimultáneamente2omáseventosesimposible.Estosepuedeexpresarimponiendolacondicióndequelaprobabilidadquesepresenten2omaseventosenelintervalo(0,t],dadoquesepresentóuneventoendichointervalo,tiendea0cont.Estoesequivalentealacondición:DemostraremosqueI),II)yIII)implicanquePk(t)=et(t)k/k!(A)DemostraciónRealizaremoslademostraciónen4pasos.1)DeladefinicióndeAk(u,t]resulta:Ak(0,t+s]=Ak(0,t]A0(t,t+s]+Ak1(0,t]A1(t,t+s]+...+A0(0,t]Ak(t,t+s]DelosaxiomasI)yII)resulta:Pk(t+s)=Pk(t)P0(s)+Pk1(t)P1(s)+...+P0(t)Pk(s)(B)2)DemostraremosqueP0(t)=etdonde>0.(C)De(B)resultaparak=0queP0(t+s)=P0(t)P(s).Estomu