第二章物资调运方案的优化2-单纯形法2.4-2.5线性方程组的学习要求1.了解n元非齐次（齐次）线性方程组的概念，会用矩阵形式表示n元线性方程组；理解增广矩阵的定义。掌握解线性方程组的初等行变换法。解线性方程组是本章的重点内容。2.记住MATLAB软件中解线性方程组有关的命令函数。3.了解线性规划模型的标准形式，会用矩阵形式表示线性规划。4.熟练掌握解线性规划的单纯形法。线性规划的单纯形法是本章的重点内容。线性规划模型的建立与单纯形法通常以综合题的形式出现。5.记住MATLAB软件中解线性规划的命令函数。第十四讲线性方程组的矩阵表示形式线性方程组的一般表示方程数目为m，未知量个数为n.下面举一个例子例:用矩阵形式表示方程组解:将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵，n＝3，m＝2系数矩阵未知矩阵常数矩阵线性方程组用矩阵表示为即线性方程组三种表示形式改写成矩阵的形式.解:增广矩阵系数矩阵常数矩阵线性方程组的矩阵表示为＝表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程.（3）最后一行代表的方程是即表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程.（3）最后一行代表的方程是即例3线性方程组矩阵是4×6矩阵，矩阵是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？解:有6个未知量，有4个方程.第十五讲用初等行变换解线性方程组若一个线性方程组的增广矩阵为求方程组的解.解:从最后一行开始，得第二行表示的方程是第一行表示的方程是方程组的解为归纳当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系增广矩阵线性方程组互换两行的位置互换两个方程用一非0常数乘某行用一非0常数乘某个方程将一行的倍数加至另一行上将一个方程乘以一个常数，加到另一个方程上结论对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解.消元法·用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵；·从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法.例1解线性方程组解:增广矩阵它所对应的方程组就是这种形式的方程组称为阶梯形方程组.用回代的方法求出方程组的解为例2解线性方程组解增广矩阵为因为最后一行表示的方程是所以原方程组无解.例3解线性方程组解将增广矩阵化成阶梯形矩阵第二行表示的方程是第一行表示的方程是原方程组的解为等号右边的未知量称为自由未知量，用一组自由未知量表示其它解的形式称为线性方程组的一般解，含有自由未知量的线性方程组有无穷多解.将阶梯形矩阵继续化简，化成行简化阶梯形矩阵：定义阶梯形矩阵如果具有下列特点，则称为行简化阶梯形矩阵：（1）每行的首非0元素都为1；（2）每行的首非0元素所在的列其余元素都为0.所以上述方程组的一般解为（其中为自由未知量）