1．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系为________．解析：因为a⊥α，b∥α，所以a⊥b，但不一定相交．答案：a⊥b2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件．解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是________．解析：因为l⊂α，且l与n异面，所以n⊄α，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.答案：n∥α4．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确命题的序号是________．解析：易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④5．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β有________对．解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.答案：无数6．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：77.(2016·潍坊模拟)如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论成立的序号是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面PAE；④平面PDE⊥平面ABC.解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，①成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论②，③均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论④不可能成立．答案：①②③8．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加条件的序号是________．①m∥n；②n⊥m.解析：由面面垂直的性质定理可知，当n⊥m时，有n⊥β.答案：②9．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交且l⊄α时，才能l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n.故④正确．答案：①③④10．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．答案：211．(2016·邯郸月考)在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝1，AA1＝eq\r(2)，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1.(1)证明：BC⊥AB1；(2)若OC＝OA，求三棱锥C1­ABC的体积．解：(1)证明：由题意BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\f(\r(6),2)，AB1＝eq\r(3).且△AOD∽△B1OB，所以eq\f(AO,OB1)＝eq\f(DO,OB)＝eq\f(AD,BB1)＝eq\f(1,2)，所以OD＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(\r(6),6)，AO＝eq\f(\r(3),3)，所以AO2＋OD2＝AD2，所以AB1⊥BD，又CO⊥侧面ABB