1．平面α、β的公共点多于两个，则①α⊥β；②α、β至少有三个公共点；③α、β至少有一条公共直线；④α、β至多有一条公共直线．以上四个判断中不成立的个数是________．解析：由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．答案：22．设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有________条．答案：33．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要4．(2016·北京模拟)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的序号是________．①若AC与BD共面，则AD与BC共面；②若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；③若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC；④若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC.解析：①中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；②中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；④中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：③5．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．解析：如图1，因为AC∩BD＝P，图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD)，所以BD＝eq\f(24,5).如图2，同理可证AB∥CD.图2所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.综上所述，BD＝eq\f(24,5)或24.答案：eq\f(24,5)或246．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．解析：如图，连结对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．联想正方体的其他对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，所以对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，故这样的直线l可以作4条．答案：48．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．其中真命题的个数是________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．故真命题的个数为0.答案：09．对于四面体ABCD，下列命题中：①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面．其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误．答案：①10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故