第八章第3讲[A级根底达标]1．有以下命题：①假设直线l平行于平面α内的无数条直线，那么直线l∥α；②假设直线a在平面α外，那么a∥α；③假设直线a∥b，b∥α，那么a∥α；④假设直线a∥b，b∥α，那么a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A2．以下四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】C3．如下图的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，那么DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能【答案】B4．m，n表示两条不同直线，α表示平面，以下说法正确的选项是()A．假设m∥α，n∥α，那么m∥nB．假设m⊥α，n⊂α，那么m⊥nC．假设m⊥α，m⊥n，那么n∥αD．假设m∥α，m⊥n，那么n⊥α【答案】B5．(2023年枣庄诊断)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，那么动点P的轨迹长度为()A．2B．2πC．2eq\r(3)D．4【答案】D【解析】连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4.6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，那么四面体的四个面中与MN平行的是________．【答案】平面ABD与平面ABC【解析】如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，且EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB．因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC．7．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．假设EF∥平面AB1C，那么线段EF的长度等于________．【答案】eq\r(2)【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC中点，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).8．如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，假设BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，那么PQ的长度为________．【答案】eq\r(13)【解析】由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，那么D为AM中点，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又因为eq\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，所以DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3.在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).9．(2023年南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1．设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，所以MN∥PA．因为MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB．因为CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CN∥平面PAB．又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝eq\r(3).所以三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2