§1复变函数积分(jīfēn)的概念1.积分(jīfēn)的定义而简单闭曲线(qūxiàn)的正方向是指当曲线(qūxiàn)上的点P顺此容易(róngyì)看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,2.积分(jīfēn)存在的条件及计算法所以，有下面(xiàmian)的式子：不论(bùlùn)对C的分法如何，点(xk,hk)的取法如何，上式而且上式说明(shuōmíng)了两个问题：所以(suǒyǐ)[解]直线(zhíxiàn)的方程可写作容易验证，右边两个线积分都与路线(lùxiàn)C无关，所以[解]直线的方程(fāngchéng)可写作这个(zhège)结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周3.积分(jīfēn)的性质线因此(yīncǐ)便得不等式的第一部分，又因所以(suǒyǐ)从而(cóngér)有§2柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本(jīběn)定理或沿封闭曲线的积分值为零的条件(tiáojiàn)，可能与被积函数则有闭曲线(qūxiàn)的积分为零。实际上，[解]由积分(jīfēn)运算的性质可知§3基本(jīběn)定理的推广在上一节中，讨论了柯西-古萨定理(dìnglǐ)是在单连通域其中(qízhōng)A,B在C上,A'B'上式说明在区域内的一个解析(jiěxī)函数沿闭曲线的积分,不闭曲线,C1,C2,...,Cn是在C内部的简单(jiǎndān)闭曲线,它们互不包例如从本章(běnzhānꞬ)§1的例2知:当C为以z0为中心的正向[解]函数(hánshù)则根据复合闭路(bìlù)定理可得[解]函数(hánshù)则根据复合闭路(bìlù)定理可得[解]函数(hánshù)则根据(gēnjù)复合闭路定理可得§4原函数与不定积分(bùdìnꞬjīfēn)[证]从导数的定义出发来证。设z为B内任意(rènyì)一点,这就是说容易证明，f(z)的任何两个原函数相差(xiānꞬchà)一个常数。则，它就有无穷多个原函数,而且(érqiě)具有一般表达式[证]因为(yīnwèi)[解]在所设区域内解析(jiěxī)。它的一个原函[解][解][解]§5柯西积分(jīfēn)公式都是相同的。现在来求这个(zhège)积分的值。由于f(z)的连续性，在C上的函数(hánshù)f(z)的值将随着析，C为D内的任何一条(yītiáo)正向简单闭曲线,它的内部完对上式右边第二个式子(shìzi)整理可得上式称为(chēnꞬwéi)柯西积分公式。[解]由公式(gōngshì)有[解]由公式(gōngshì)有[解][解]被积函数(hánshù)[解]被积函数(hánshù)[解]被积函数(hánshù)§6解析(jiěxī)函数的高阶导数其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕(wéirào)z0的任何一条先按定义(dìngyì)有从而(cóngér)有则又因为(yīnwèi)f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上再利用同样(tóngyàng)的方法去求极限：依此类推,用数学归纳法可以(kěyǐ)证明：[解][解]由定理(dìnglǐ)有因此(yīncǐ)[解][解][解][解]被积函数(hánshù)[解]被积函数(hánshù)[解]被积函数(hánshù)例2设函数f(z)在单连通域B内连续(liánxù)，且对于B内任§7解析(jiěxī)函数与调和函数的关系即在内满足拉普拉斯(Laplace)方程：定理若在区域内解析，利用柯西-黎曼方程(fāngchéng)求得它的共轭调和函数v，从而构成这就证明(zhèngmíng)了u(x,y)为调和函数。从而得到一个解析(jiěxī)函数例2已知一调和函数故已知解析(jiěxī)函数f(z)=u+iv的导数其中(qízhōng)c为任意实常数。又如上面(shàngmiɑn)的例2，因例验证(yànzhèng)所以(suǒyǐ)可得例求具有下列形式(xíngshì)的所有调和函数u:即(补充)二平面上曲线积分(jīfēn)与路径无关的等价条件104内容(nèiróng)总结