§1解析(jiěxī)函数的概念1.复变函数(hánshù)的导数与微分也就是说,对于(duìyú)任给的所以(suǒyǐ)例2问f(z)=x+2yi是否(shìfǒu)可导？设ii)可导与连续(liánxù)由此得,其中c为复常数。iv)微分(wēifēn)的概念即2.解析(jiěxī)函数的概念例3研究(yánjiū)函数如果(rúguǒ)例4研究(yánjiū)函数所有多项式在复平面内是处处解析的,任何(rènhé)一个§2函数(hánshù)解析的充要条件在工程(gōngchéng)中,往往是要用复变函数来解决实际问题。件。设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)定义(dìngyì)在区域D内,令这就是函数(hánshù)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内定理一设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义(dìngyì)在区域这里(zhèlǐ)因此(yīncǐ)或根据函数(hánshù)在区域内解析的定义及定理一，就可得这两个定理是本章的主要定理。不但(bùdàn)提供了判断例1判断下列函数(hánshù)在何处可导,在何处解析：2)因为(yīnwèi)3)由3132例2设函数(hánshù)3435例3如果(rúguǒ)例4如果(rúguǒ)f(z)=u+iv为一解析函数，且f'(z)0，38§3初等(chūděng)函数1.指数函数(zhǐshùhánshù)等价(děngjià)于关系式：鉴于expz满足条件iii)，且加法定理(dìnglǐ)也成立，为了2.对数函数(duìshùhánshù)如果(rúguǒ)规定上式中的Argz取主值argz，则Lnz为一单值例1求Ln2,Ln(-1)以及它们(tāmen)相应的主值。46但应注意，与第一章中关于(guānyú)乘积和商的辐角等式所以除去原点与负实轴，在复平面(píngmiàn)内其他点，lnz处处而且有，Lnz的各个(gègè)分支在除去原点及负实轴的3.乘幂(chénꞬmì)ab与幂函数所以(suǒyǐ)这时ab具有单一的值。例2求5354时是与a的n次幂及a的n次根的定义(dìngyì)是完全一致的。ii)当b为分数对数函数(duìshùhánshù)Lnz的各个分支在除去原点和负实轴的复平面4.三角函数(sānjiǎhánshù)和双曲函数为周期的周期函数,因此cosz和sinz以由定义和指数函数(zhǐshùhánshù)的加法定理，可知三角函数许但当z为纯虚数(xūshù)iy时,有当y时，|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大，因此(yīncǐ)，shz为奇函数(hánshù)，它们都是复平面内的解析函数(hánshù)，导数64655.反三角函数(sānjiǎhánshù)与反双曲函数显然(xiǎnrán)Arccosz是一个多值函数，它的多值性正是cosw的反双曲函数(hánshù)定义为双曲函数(hánshù)的反函数(hánshù)。用与推导69内容(nèiróng)总结