1轨迹问题基本知识概要：基本知识概要：一、求轨迹的一般方法：求轨迹的一般方法：直接法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。定义法：，可从曲线定义出发直接2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义）写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。代入法：3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。参数法：4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。交轨法：5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的6.几何法：条件，然而得出动点的轨迹方程。7.待定系数法待定系数法：7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A(x1,y1),B(x2,y2)并代入圆点差法：点差法锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。二、注意事项：注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y),y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。【典型例题选讲】一、直接法题型：直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则MN2=MO?ON。设M(x,y),则22x2+y2?1=λ(x?2)2+y2化简得(λ2?1)(x2+y2)?4λ2x+(1+4λ2)=0（1）当λ=1时，方程为x=5，表示一条直线。42λ221+3λ2)+y2=2表示一个圆。λ2?1(λ?1)2（2）当λ≠1时，方程化为(x?2说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。说明：练习：待定系数法题型）在?PMN中，tan∠PMN=（待定系数法题型练习：待定系数法题型1,tan∠MNP=?2，且?PMN的2面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。解答过程参考教材P129页例1。。定义法题型：二、定义法题型：如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖例20出的土只能沿AP、运到P处，BP其中AP=100m，BP=150m，∠APB=60，问怎能样运才能最省工？解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有MA+AP=MB+BP，即MA?MB=PB?PA=50≤AB=507，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为x2y2?=1(x>25),故运土时为了省工，在双曲线弧左侧6253750的土沿AP运到P处，右嗟耐裂?BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。说明：说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。22，M练习：练习：已知圆O的方程为x+y=100,点A的坐标为（-6，0）为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。解：由中垂线知，PA=PM故PA+PO=PM+PO=OM=10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为(x+3)2y2+=1252516三、代入法题型：代入法题型：22如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，例3垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N2x-x1,2y-y1）（代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直