第页第九讲数学游戏游戏对策成绩因常与智力游戏相结合，因而具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思绪，进步分析成绩解决成绩的能力是很无好处的。例1在一个3×3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数不能反复.最初甲的得分是不计两头行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计两头列的摆布两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。分析把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c＋g+i）+（b+h）；乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i=（a＋c＋g＋i）+（d＋f）要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是加强本人的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是减弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.下方分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“加强本人，减弱对方”两者兼顾。为了使叙说方便起见，我们分别用（甲2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在a处填数字5”，其余如（乙1），（甲1，b10）等含义类同。一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下去的最大数后，不管（乙2）怎样填，最初总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数）2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下去的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只需甲不填错，即只需把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了）3.明显，（乙2，d8），乙就不会输了.因而不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。一样，若（甲1，h10），只需乙应对正确，乙就不会输。因而，只需二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下去的最小数，则最初必有b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最初必有b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜.因而，只需（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。解：甲第一轮采用减弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后不管乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只需把尽可能大的数填入b或h格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。例2在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地挪动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方挪动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取甚么办法？分析见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在挪动最初一次石子后，石子落在再挪动一次就能移到右上角的那些方格中，即eq\o\ac(○,一)1~eq\o\ac(○,一)3.而挪动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只需eq\o\ac(○,+)1和eq\o\ac(○,+)2,即eq\o\ac(○,+)1和eq\o\ac(○,+)2必须由甲来占据。这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次挪动石子后，石子落在再挪动一次就能移到eq\o\ac(○,+)1或eq\o\ac(○,+)2的那些方格中，即eq\o\ac(○,一)4~eq\o\ac(○,一)9.而从哪些方格（除了eq\o\ac(○,+)1和eq\o\ac(○,+)2外）中挪动一次石子，石子必定落在eq\o\ac(○,一)1~eq\o\ac(○,一)9之一中呢？只需用eq\o\ac(○,+)3.因而甲第一次挪动石子就必须把石子从左下角移到eq\o\ac(○,+)3.中。这样，一切的格子被分成“胜位”（eq\o\ac(○,+)1~eq\o\ac(○,+)3）和“负位”（eq\o\ac(○,一)1~eq\o\ac(○,一)9）.自然，上图中的eq\o\ac(○,一)10和eq\o\ac(○,一)11也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙