赵爽弦图备战2013年中考数学——精华综合型问题解析（五）1.（2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（）的圆内切于△ABC，则k的值为．【解题思路】由等腰Rt△ABC的内切圆半径，求出正方形的边长，再由正方形的性质求出对角线的交点坐标，最后代入求出k值.设正方形边长为a，则AC=BC=a，AB=a，∵Rt△ABC的内切圆半径为（），∴=，解得：=4，由正方形的性质得对角线的交点坐标为（2，2），代入得k=2×2=4.【答案】4.【点评】在平面直角坐标系中将正方形、三角形、圆、反比例函数图像有机地组合起来，综合运用相关知识才能使问题得以解决是本题的一大亮点.解决问题的关键是求出正方形对角线的交点坐标.而利用直角三角形的内切圆半径与三边关系的规律求正方形边长是一个难点，求出正方形边长后再利用正方形的性质求对角线的交点坐标又是一个重点.难度较大.2.三、解答题1.（2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）.(1)求证h1=h3；(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；第23题图(3)若,当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.【解题思路】可构造全等三角形来解决第（1）、（2）两个问题，由二次函数的性质来解决第三个问题..【答案】证明：（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，∵l1∥l2∥l3∥l4，∴AF⊥l2，CH⊥l3，h1=AE，，h3=CG,由同角的余角相等得：∠CDG=∠DAF=∠ABE，∠AEB=∠CGD=90°，AB=CD，∴△ABE≌△CDG,∴AE=CG，∴.h1=h3.证明：（2）由（1）同理可证：△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，∴.第23题图HEFG(3)由题意，得，则：又解得0＜h1＜∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；当h1=时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.【点评】本题以正方形、平行线以及平行线间的距离为背景设计问题，旨在考查添加辅助线构造全等三角形以及二次函数模型来解决问题的能力，三个问题可谓是由简单到复杂，环环相扣，层层推进.辅助线添加后，立即出现了赵爽玄图，可谓是独具匠心；“S随h1的变化情况”设计是常规问题中的一个创新尝试，并将代数式变形以及考虑解决问题的全面性上升到一定的高度！难度较大.2.（2011广东省，21，9分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.OxAMNBPC【解题思路】（1）解决关键是由B点坐标求出直线解析式，发现四边形ACBD是正方形．（2）将C、D两点坐标代入抛物线解析式构造二元一次方程组求解．（3）是存在的，需要由EM∥x轴理解E，M两点的纵坐标相同，进一步理解E，M两点关于抛物线的对称轴对称．【答案】（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=（2）（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有，解得，所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.①当t=1时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形②当t=2时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.【点评】此题是一道解析几何问题，综合考查了二次函数、一次函数、正方形、抛物线的平移等知识，需要学生系统掌握待定系数法，数形结合及分类讨论的数学思想，才能很好的解答．（1）（2）两问设计简洁明快，上手容易．第（3）问属于存在探究性问题，这类问题往往是要判断符合条件的关系式或结论是否存在，解答时，可以先对其做出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行