微積分作業數學第二專長班學生：廖珮伶作業名稱：係數對圖形的影響學號：9315繳交期限：2004/10/17作業說明：函數a/(1+b*exp(-ct)),其中a,b,c>0試分別討論a,b,c對函數圖形的影響註：類似課本p144第36題之討論----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------函數討論：1.此函數的截距為(0，a/(1+b))當t趨近於無限大時，y值趨近a故漸近線為y=a2.一階導函數中，a、b、c均大於零，亦大於零，分母平方項亦大於零故一階導函數為大於零之數，亦即此函數必為遞增函數，從x軸左方向右方往上遞增3.二階導函數中，因abc均大於零，亦大於零，分母平方項亦大於零，故>0時，>0亦即t<lnb/c，二階導函數為正，凹口向上t>lnb/c，二階導函數為負，凹口向下t=lnb/c，二階導函數為0，為反曲點反曲點為(lnb/c，a/2)y=a反曲點(lnb/c，a/2)(0，a/(1+b))二、討論a值的影響1.函數值：從圖中的兩線比較得知，當a值變大時，函數亦增大。例如，當a值變大兩倍，函數值亦增大兩倍。2.截距：當a值變大時，y軸截距加大，3.漸近線：漸近線的位置也向上移。4.函數變率：一階導函數的數值亦變大，也就是函數增加的變率加大。5.反曲點位置：當a增大時，反曲點x座標不變，但y座標隨a值增大倍率增大。亦即反曲點隨a值增大越來越遠離x軸。y=a藍線a=5b=1c=1綠線a=3b=1c=1三、討論b值的影響1.函數值：從圖中的兩線比較得知，當b值變大時，函數值變小2.截距：當b值變大時，y軸截距變小3.漸近線：漸近線位置不變4.函數變率：一階導函數的數值亦變小，也就是函數增加的變率變小。亦即當b值越大，函數越平緩，慢慢上升接近y=a的漸近線5.反曲點位置：當b增大時，x座標隨b值增大而增大，y座標不變，亦即反曲點位置越來越遠離y軸綠線a=5b=1c=1紅線a=5b=5c=1四、討論c值的影響1.函數值：從圖中的兩線比較得知，當c值變大時，函數值變大。2.截距：當c值變大時，y軸截距不變。3.漸近線：漸近線的位置不變。4.函數變率：一階導函數的數值隨c變大，也就是函數增加的變率加大，c越大函數越快上升靠近y=a漸近線5.反曲點位置：當c值增大，反曲點的x座標隨隨c值增大而變小，y座標不變，亦即反曲點隨c值增大越來越靠近y軸紅線a=5b=1c=1藍線a=5b=1c=5