《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、填空题1．若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，则P、Q、R的大小关系是________．解析取a＝100，b＝10，此时P＝eq\r(2)，Q＝eq\f(3,2)＝lgeq\r(1000)，R＝lg55＝lgeq\r(3025)，比较可知P<Q<R.答案P<Q<R2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.解析用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可得原式＝10.答案103．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x>0,2x＋1，x≤0))的零点个数为______．解析当x>0时，可作出y＝lnx，y＝x2－2x的图象如图所示．由图示可得函数f(x)＝lnx－x2＋2x(x>0)有两个零点．当x<0时，f(x)＝2x＋1有零点x＝－eq\f(1,2).综上，可得f(x)有3个零点．答案34．设0<x<eq\f(π,2)，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的________条件．解析由0<x<eq\f(π,2)，得0<sinx<1，故由xsinx<1，可得xsin2x<xsinx<1，即“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要条件；而若xsin2x<1，则xsinx<eq\f(1,sinx)，但eq\f(1,sinx)>1，故不能得到xsinx<1，所以“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要而不充分条件．答案必要不充分5．在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．解析如图阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域．而直线ax－y＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a＝1时，封闭区域的面积是1；当a＝2时，封闭区域的面积是eq\f(3,2)；当a＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案36．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析构造正方体ABCD－A1B1C1D1，可用其中实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．答案①②④7．已知函数f(x)＝lnx－eq\f(a,x).若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．解析∵f(x)<x2，∴lnx－eq\f(a,x)<x2，又x>1，∴a>xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝eq\f(1,x)－6x＝eq\f(1－6x2,x)，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0恒成立，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)<h(1)＝－2<0.∴即g′(x)<0∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)<g(1)＝－1.∴a>－1.答案(－1，＋∞)8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．解析由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－eq\f(1,2)，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，而函数f(x)为偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al