2011湖南理本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，，时量120分钟，满分150分．参考公式：（1），其中为两个事件，且，（2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高．（3）球的体积公式，其中为求的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，为虚数单位，且则（）．A．，B．C．D．【解】，则，因为，由复数相等的充要条件得．故选D．2.设集合，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解】当时，，则，但是当时，或或或都满足条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）．A．B．C．D．【解】该几何体为一个球和一个长方体的组合体..故选B.4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好不爱好总计由算得，.附表:参照附表，得到的正确结论是（）．Ａ．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”Ｂ．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有以上的把握认““爱好该项运动与性别有关”D．有以上的把握人物“爱好该项运动与性别无关”【解】由于,所以有以上的把握认““爱好该项运动与性别有关”．故选Ｃ．5．设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）．A．B．C．D．【解】双曲线的一条渐近线方程为，对照已知渐近线方程，则．故选C．6．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）．A．B．C．D．【解】因为是偶函数,则所求面积为.故选D．7．设，在约束条件下，目标函数的最大值小于，则的取值范围为（）．A．B．C．D．【解】因为，则在第一象限，直线在直线的上方，画出可行域，则．直线穿过点时，值最大，，即，，又，则的取值范围为．故选A．8．设直线与函数，的图象分别交于点．则当达到最小时的值为（）．A．B．C.．D．【解】，设．则，令，则由得，且当时，单调递减；当时，单调递增．所以，达到极小值，也是最小值．此时达到最小．故选D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全作，则按前两题记分）9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴中，曲线的方程为，则与的交点个数为．【解】．曲线化为普通方程为，，曲线化为直角坐标系方程为，圆心在直线上，所以与的交点个数为．10．设,则的最小值为．【解】．．当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．11．如图，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为．与相交与点，则的长为．【解】．连，交于．因为是半圆周上的两个三等分点，则，，，于是．因为，，所以，因为，所以，，，所以．（二）必做题（11～16题）12．设是等差数列的前项和，且，，则．【解】．因为，所以，于是．13．若执行如图所示的框图，输入，，则输出的数等于．【解】．执行的程序是求方差的运算，则输出的数．14．在边长为的正三角形中,设，，则______________．【解】．解法1．因为,所以是的中点，因为是正三角形，所以．因为，，所以．因此．解法2．因为,所以是的中点，因为是正三角形，所以．以为坐标原点，射线分别为轴和轴的正方向建立直角坐标系．因为正的边长为，，，所以，，，．，，．15．如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）_____________；(2)．【解】（1）．(2)．（1），，所以；(2)．16.对于,将表示，当时，，当时,为或．记为上述表示中为的个数（例如：）,故,),则（1）_____；(2)_____．【解】（1）．(2)．（1），所以；(2)把分成，，，，，，．集合，每个集合有个元素，集合的元素在二进制中是位数．在中，含有个的二进制数有个，．于是．因为．于是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.(Ⅰ)求角的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．【解】(Ⅰ)由正弦定