2011北京理本试卷，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，．若，则的取值范围是（）．A．B．C．D．【解】因为，及，则．故选Ｃ．2．复数（）．A．B．C．D．【解】．故选Ａ．3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是（）．A．B．C．D．【解】由得，化为直角坐标系方程为，整理得，圆心坐标是，化为极坐标是．故选Ｂ．4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．A．B．C．D．【解】第一步：；第二步：；第三步：，第四步：；第四步：，．循环终止．输出．故选Ｄ．5．如图，分别与圆切于点，延长与圆交于另一点．给出下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．②③C．①③D．①②③【解】因为是圆的切线，所以，，，所以，因此，所以①正确；由切割线定理，又，所以，所以②正确．可以证明，所以不成立．故选Ａ．6．根据统计，一名工作组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）．已知工人组装第件产品用时分钟，组装第件产品用时分钟，那么和的值分别是（）．A．B．C．D．【解】因为时，，时，，所以，，．故选Ｄ．7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）．A．B．C．D．【解】几何体的直观图是底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，其四个面的面积分别是：，，，．所以该四面体四个面的面积中，最大的是．故选Ｃ．8．设,，,．记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（）．A．B．C．D．【解】如图可知函数的值域为．故选Ｃ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．在中，若，，，则______；_____．【解】，．由可得，代入，及得．由正弦定理，，即，所以．10．已知向量，，．若与共线，则____．【解】．，因为与共线，则，所以．11．在等比数列中，，，则公比____；___．【解】，．，所以．．12．用数字组成四位数，且数字至少都出现一次，这样的四位数共有_____个．（用数字作答）．【解】．解法1．数字至少都出现一次的情况有下列几种:(1)“”出现次，“”出现次，共可组成个四位数；(2)“”出现次，“”出现次，共可组成个四位数；(3)“”出现次，“”出现次，共可组成个四位数；所以共组成个符合要求的四位数．解法2．数字在四位数的每一位出现的可能都是,所以由数字组成个四位数，其中“”和“”不合要求，所以共组成个符合要求的四位数．13．已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是_______．【解】．画出函数的图象，从图象中可以看出，当时，直线与函数的图象有两个交点，因而关于的方程有两个不同的实根，所以数的取值范围是．14．曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称；③若点在曲线上，则的面积不大于．其中，所有正确结论的序号是．【解】②，③．设曲线上任意一点的坐标是，由题意得，如果曲线经过原点，则，与题设条件矛盾．所以①不正确；由于，所以曲线关于坐标原点对称，于是②正确；三角形的面积．于是③正确．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。【解】（Ⅰ）因为．所以的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．16．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．(Ⅰ)求证：平面（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.【解】（Ⅰ）因为四边形是菱形，所以，又因为平面，所以，因为，所以平面．（Ⅱ）设．因为，，所以，．如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，，设与所成角为，则．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设，则，设平面的法向量,则即令则．所以同理，平面的法向量，因为平面平面，所以，解得．所以．17．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树的棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（Ⅰ）如果,求乙组同学植树棵树的平