《中学数学杂志》高中年第期莫利定理美妙的复数证明泣东省滨州师专王海燕山东省滨州市教学研究室王学贤,二,二。莫利一是英裔美籍数学要条件是‘扩家,他于年发现了一条重要的几何定理,称为其中,,是复数,。是的三次方根,。。莫利定理莫利定理以证明困难而闻名于世二邸,,、、、、莫利定理将三角形各内角三等分靠近某边证明如图设刀分另对应复数。的两条三分角线相交于一个交点,则这样的三个交扩,△老又二是单位圆的内接正三角形,则△,。。点构成一个正三角形是正三角形的充要条件是与△同向相似‘这一重大发现和惊△的△叼蛇,果立即引起国田一人成各熟,华一一数学家的关注并多方共山。探求其简明证法一各,共!李年纳按宁格尔了尤一一提拱于。普参舍出了一个初等证明一,一一一,。兴。血年恰以尔德娜,。一。。一。干一。又重新发图化简得。现了这一证明方法纳援宁格尔证法的思路和要点,,,,‘。二。,、,,一。,是如图设△乃拐‘中乙艺召刀匕两边同除以得、二,与仪〕边相邻的两条三等分线相交于点尸,两边同除以。,得二,‘十。二证毕,艺召和匕的另两条三等分线相交于点则点莫利定理证明如图,以△的顶点为原,是△义〕的内心外平分艺以尸为顶点在尸点,边邵所在的直线为实轴建立复平面。〕,两侧作艺匕斗均二扩则△咫里不失一般性,设,二,。△尸故产斗之尸从而△尺尸是正三形只要△〔沼的外接圆半径八,,再证明和把艺三等分即可接下去的证为单位长匕,,,明须助圆巨添加助证法虽,二作辅多条辅线然奇妙匕召月匕,。。但构思怪巧难以想到具体证法在此略去,显然,十刀,,笔者经过潜心研究不懈探寻发现了莫利定理。,的复数证明勿须添加辅助线只须在复平面内用正设△口的三内。弦定理和三角变换即可证明证法十分和谐优美令角条三等分线的交点众人赏心悦目介绍如下构成△,,由正图‘一弦定理得召二召一二召,,同样可得召召、万、,在△中由正弦定理得兰了立互劝丝立业二山’〔一月一图〔匹旦生对二盛护过工龙上丝」夕边夕,肠。飞引理复平而内△是正角形的充召中学数学杂志》高中佣年第期一了sa矛夕明Zin3sasaaa二二一in+2+in2一一si+sin-一一月川(尹)(尹)n3n.a一+n.一一。+n尸一十下si+ZysiZysi1夕二夕(团)(印)(20一a一sn一a一sn+++sn+断口’il2’03iyi邸)()(’60夕)(’6()‘,一一+sn+a++一sn+a+了i120Z了il2Z夕二夕)(夕)(’0,sasana二了〔了一+in+Z一了+in一Z+y+Zsi3因为所以沦。夕)(夕)(夕)asaaa一二一sin+2+in2一一si+sin-了尹此’璐了(夕)(月)n3.,,sn+。一+n.一y一a+sn.+a在△亿中同样可得i(6()Zy)蔚(田Z)i(阅)‘a口,一sn一+sn一一i+骊n+i++亿(3)()(y夕)姗夕’60’60’6()‘a一a,sn+一sna一++sn+i(li(Zyi因为8())60一夕)(60一+sna+a二一。+Zyi32幼以!2+2了)(6())n3所璐(’60尹)](刃一.=一5:1a++sna一一n.+a1(2尹)i(6()Zy)si(603)1sinZy)一+n+一+n一a+a,,:ia‘