高中数学圆得方程典型例题类型一:圆得方程例1求过两点、且圆心在直线上得圆得标准方程并判断点与圆得关系.分析:欲求圆得标准方程,需求出圆心坐标得圆得半径得大小,而要判断点与圆得位置关系,只须瞧点与圆心得距离与圆得半径得大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.解法一:(待定系数法)设圆得标准方程为.∵圆心在上,故.∴圆得方程为.又∵该圆过、两点.∴解之得:,.所以所求圆得方程为.解法二:(直接求出圆心坐标与半径)因为圆过、两点,所以圆心必在线段得垂直平分线上,又因为,故得斜率为1,又得中点为,故得垂直平分线得方程为:即.又知圆心在直线上,故圆心坐标为∴半径.故所求圆得方程为.又点到圆心得距离为.∴点在圆外.说明:本题利用两种方法求解了圆得方程,都围绕着求圆得圆心与半径这两个关键得量,然后根据圆心与定点之间得距离与半径得大小关系来判定点与圆得位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆得位置关系呢？例2求半径为4,与圆相切,且与直线相切得圆得方程.分析:根据问题得特征,宜用圆得标准方程求解.解:则题意,设所求圆得方程为圆.圆与直线相切,且半径为4,则圆心得坐标为或.又已知圆得圆心得坐标为,半径为3.若两圆相切,则或.(1)当时,,或(无解),故可得.∴所求圆方程为,或.(2)当时,,或(无解),故.∴所求圆得方程为,或.说明:对本题,易发生以下误解:由题意,所求圆与直线相切且半径为4,则圆心坐标为,且方程形如.又圆,即,其圆心为,半径为3.若两圆相切,则.故,解之得.所以欲求圆得方程为,或.上述误解只考虑了圆心在直线上方得情形,而疏漏了圆心在直线下方得情形.另外,误解中没有考虑两圆内切得情况.也就是不全面得.例3求经过点,且与直线与都相切得圆得方程.分析:欲确定圆得方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们得交角得平分线上.解:∵圆与直线与相切,∴圆心在这两条直线得交角平分线上,又圆心到两直线与得距离相等.∴.∴两直线交角得平分线方程就是或.又∵圆过点,∴圆心只能在直线上.设圆心∵到直线得距离等于,∴.化简整理得.解得:或∴圆心就是,半径为或圆心就是,半径为.∴所求圆得方程为或.说明:本题解决得关键就是分析得到圆心在已知两直线得交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆得方程,这就是过定点且与两已知直线相切得圆得方程得常规求法.例4、设圆满足:(1)截轴所得弦长为2;(2)被轴分成两段弧,其弧长得比为,在满足条件(1)(2)得所有圆中,求圆心到直线得距离最小得圆得方程.分析:要求圆得方程,只须利用条件求出圆心坐标与半径,便可求得圆得标准方程.满足两个条件得圆有无数个,其圆心得集合可瞧作动点得轨迹,若能求出这轨迹得方程,便可利用点到直线得距离公式,通过求最小值得方法找到符合题意得圆得圆心坐标,进而确定圆得半径,求出圆得方程.解法一:设圆心为,半径为.则到轴、轴得距离分别为与.由题设知:圆截轴所得劣弧所对得圆心角为,故圆截轴所得弦长为.∴又圆截轴所得弦长为2.∴.又∵到直线得距离为∴当且仅当时取“=”号,此时.这时有∴或又故所求圆得方程为或解法二:同解法一,得.∴.∴.将代入上式得:.上述方程有实根,故,∴.将代入方程得.又∴.由知、同号.故所求圆得方程为或.说明:本题就是求点到直线距离最小时得圆得方程,若变换为求面积最小呢？类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆,求过点与圆相切得切线.解:∵点不在圆上,∴切线得直线方程可设为根据∴解得所以即因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线得斜率不存在.易求另一条切线为.说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在得情况,要注意补回漏掉得解.本题还有其她解法,例如把所设得切线方程代入圆方程,用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用,求出切点坐标、得值来解决,此时没有漏解.例6两圆与相交于、两点,求它们得公共弦所在直线得方程.分析:首先求、两点得坐标,再用两点式求直线得方程,但就是求两圆交点坐标得过程太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”得技巧.解:设两圆、得任一交点坐标为,则有:①②①－②得:.∵、得坐标满足方程.∴方程就是过、两点得直线方程.又过、两点得直线就是唯一得.∴两圆、得公共弦所在直线得方程为.说明:上述解法中,巧妙地避开了求、两点得坐标,虽然设出了它们得坐标,但并没有去求它,而就是利用曲线与方程得概念达到了目标.从解题得角度上说,这就是一种“设