圆及其方程一、公式及相关内容（1）圆的标准方程：（圆心及半径）（2）圆的一般方程：（无项，系数相等且不为零）（3）圆的参数方程：（为参数）上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。（4）过圆上一点的切线方程为圆的斜率为的切线方程为（掌握推导方法）（5）经过两圆：，交点的圆的方程为当时，得到两圆公共弦所在直线方程（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果（7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：法外离外切相交内切内含（8）圆与圆位置关系：圆心距与两圆半径的比较：（9）公切线求法：通过比例求得公切线与连心线的交点A的坐标，用点斜式设公切线的方程，然后求得斜率，得到公切线方程。二求圆的方程1.求经过两点，且圆心在轴上的圆的方程。（标准方程法，垂径弦性质）2.（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；（2）求过点的圆的方程。利用圆的性质的解法比用待定系数的解法计算量小，充分利用圆的性质可简化解题过程。3.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是。4.圆关于原点对称的圆的方程为。5.若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与轴相切，则圆心P的轨迹方程为。6.是方程的两个实根，而是方程的两个实根，求以和为直径的圆的方程。结论：以和为直径的圆的方程为三圆心及半径问题7.与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是。8.点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的圆心坐标为。9.方程表示圆，则的取值范围为。四点与圆的位置关系判断10.直线与圆相离，则点与圆的位置关系为。11.证明动直线与圆恒相交。（）五三角形外接圆和内切圆12.已知正三角形ABC的顶点，求的外接圆的方程。13.已知三角形的三边所在直线方程为，求三角形的内切圆的方程。14.已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为个。六直线与圆的位置关系15.圆与直线没有公共点的充要条件是。16.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为。（体会二个点、三个点与四个点的区别）17.已知圆，定点，问过P点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：（1）相切（2）相交（3）相离18.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是。19.若直线将圆平分，但不经过第四象限，则直线的斜率的取值范围是。七圆的切线问题20求过圆上一点的切线方程。求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况。（法，圆心到切线的距离等于半径）21已知圆，点，过P点作圆C的切线为切点：（1）求所在直线的方程；（2）求切线PA的长；（3）求的正弦值；（4）求AB所在直线的方程22已知圆：（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，O为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点P的坐标。八圆的切点弦方程23过原点O作圆的两条切线，设切点分别为，则线段的长为。解法1：设切线方程，利用圆心到切线方程的距离，确定切线方程。再把切线方程代入圆方程，得切点坐标，利用两点距离公式，求得切点弦长度。解法2：写出以为直径的圆方程，切点弦转化为相交弦，写出相交弦方程，根据垂径定理算出弦长。九圆的切线长问题24圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆，圆的切线（分别为切点）使得，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。25设A为圆上的动点，是圆的切线，且，则P点的轨迹方程为。十求圆的动弦的中点轨迹方程26自圆上的点引此圆的弦，求弦中点的轨迹方程。求轨迹要注意的范围，即曲线方程的完备性。27已知圆，过点作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程为。28直线与圆相交于两个不同点，当取不同实数值时，求中点的轨迹方程。解法1：由韦达定理和中点坐标求解解法2：设两交点坐标，则有相减求斜率十一求圆的弦长问题及弦长最值问题29直线经过点，且和圆相交，截得弦长为，求的方程。（1）在解决圆和直线相交时，应首先考虑垂径、半弦长及半径构成的直角三角形。（2）也可由弦长公式求解30过点作圆：的最短弦，该弦所在的直线方程为，再过该点作该圆的最长弦，此弦所在的直线方程为。过圆内一点的最短弦，就是垂直于该点与圆心连线的弦，最长弦为直径。31已知圆的圆心为，直线（1）若，求直线被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线是圆心C下方的切线，当在上变化时，求的取值范围。十二两个圆的问题32求以相交两圆及的公共弦为直径的圆的方程。两圆