第十六章坐标系与参数方程考点一极坐标方程1.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 =2,故k=- 或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=- 时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 =2,故k=0或k= .经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k= 时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=- |x|+2.方法总结极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.(2)巧借两角和差公式,转化成ρsin(θ+α)或ρcos(θ+α)的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方程.(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ,将y转化为ρsinθ,即可得到极坐标方程.2.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析本题考查极坐标方程及其应用.(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= .由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S= |OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα· =2 ≤2+ .当α=- 时,S取得最大值2+ .所以△OAB面积的最大值为2+ .3.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.思路分析(1)利用互化公式求解.(2)联立直线和圆的极坐标方程,利用韦达定理求|AB|=|ρ1-ρ2|.通过解方程求l的斜率.4.(2015课标全国Ⅱ,23,10分,0.415)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2 cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.思路分析(1)由互化公式把曲线C2、C3的极坐标方程化为直角坐标方程,解方程组求交点坐标.(2)由题意知点A、B的极坐标分别为(2sinα,α)、(2 cosα,α),利用|AB|=|2sinα-2 cosα|=4 ,结合三角函数的性质求最值.解后反思直角坐标和极坐标各有“特长”,应根据具体情况,适当选择.必要时通过互化,发挥其特长.如利用极径ρ的几何意义求距离等.5.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.思路分析(1)利用sin2t+cos2t=1消去参数t,先得到曲线C1的普通方程,从而判断曲线C1及