直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理：1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)直线和平面垂直的性质：①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()．A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确．答案D2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．答案D3．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()．A．①②B．②③C．①④D．③④解析由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．答案C4．(2011·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是()．A.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c⊥α,α∥β))⇒c⊥βB.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b⊂β，a⊥b,c是a在β内的射影))⇒b⊥cC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b∥c,b⊂α,c⊄α))⇒c∥αD.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,b⊥a))⇒b⊥α解析由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：b∥α，b⊂α，b与α相交，所以D不正确．答案D5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案4考向一直线与平面垂直的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面PAC.[审题视点]只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可．证明∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1.∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，MC綉eq\f(1,2)BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD.[审题视点]证明BD⊥平面PAD，根据已知平面PAD⊥平面ABCD，只要证明BD⊥AD即可．证明在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝4eq\r(5)，所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面